И.М.Смирнова, В.А.Смирнов

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ

В курсе геометрии доказывается, что окружность с центром в точке A₀(x₀, y₀) и радиусом R задается уравнением

(x-x₀)² + (y-y₀)² = R².

Прямая на плоскости задается уравнением

ax + by + c = 0.

Рассмотрим теперь вопрос об аналитическом задании других кривых на плоскости.

Парабола. Напомним, что параболой  называется  геометрическое  место точек, равноудаленных от данной прямой d и данной точки F. Прямая d называет­ся директрисой, а точка F - фокусом параболы (рис. 1).

Выведем уравнение, задающее параболу на координатной плоскости. Обозначим точку пересечения оси параболы с ее директрисой через G. Длину отрезка FG обозначим через 2а. Введем систему коорди­нат, считая началом координат О середину отрезка FG, осью абсцисс – прямую, параллельную директрисе и проходящую через начало координат, осью ординат - ось параболы. Тогда фокус F будет иметь координаты (0, а).

Пусть А(x, y) - точка плоскости. Расстояния от нее до фокуса и директрисы равны соответственно  и |y+a|. Точка A принадлежит параболе в том и только том случае, когда выполняется равенство  = |y+a|. Возводя обе части этого равенства в квадрат и приводя подобные, будем иметь равенство

4ay = x²,

которое и будет искомым уравнением параболы.

Эллипс. Напомним, что эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F₁, F₂ есть величина постоянная. Точки F₁, F₂ называются фокусами эллипса (рис. 2).

Выведем уравнение эллипса на координатной плоскости. Пусть F₁, F₂ - фокусы эллипса. Длину отрезка F₁F₂ обозначим через 2с. Введем систему координат, считая началом координат О середину отрезка F₁F₂, осью абсцисс - прямую F₁F₂, осью ординат - прямую, проходящую через начало координат и перпендикулярную оси абсцисс. Фокусы эл­липса будут иметь координаты F₁(-c, 0), F₂(c, 0).

Пусть А(x, y) - точка плоскости. Расстояния от нее до фокусов равны соответственно  и . Точка A принадлежит эллипсу в том и только том случае, когда выполняется равенство

 +  = 2a,

где a некоторое фиксированное число (a > 2c).

Перенесем второе слагаемое левой части этого равенства в правую часть и возведем обе части полученного равенства в квадрат. Будем иметь

Приведем подобные

=

Еще раз возведем в квадрат и приведем подобные

Обозначим  и разделим обе части равенства на  Получим равенство

(*)  

которое и будет искомым уравнением эллипса.

Гипербола. Напомним, что гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек F₁, F₂ есть фиксированное число. Точки F₁, F₂ называются фокусами гиперболы (рис. 3).

Выведем уравнение гиперболы. Введем систему координат, считая осью Ox прямую, проходящую через фокусы, а осью Oy - прямую, перпендику­лярную оси Ox  и делящую отрезок F₁F₂ пополам. Пусть фокусы имеют ко­ординаты F₁(-с, 0), F₂(с, 0). Точка А(x, y) принадлежит гиперболе тогда и только тогда, когда выполняется равенство

| -  | = 2а,

где a – некоторое фиксированное число (0 < a < c).

Перепишем его в виде  = 2а + , и возведем обе части этого равенства в квадрат. Получим

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, будем иметь равенство

Еще раз возводя в квадрат и обозначая , получим

.

Разделив обе части на , окончательно получим уравнение гиперболы

(**)  

Прямые, заданные уравнениями bx + ay = 0, bx – ay = 0, называются асимптотами гиперболы.

Лист Декарта. Декартовым листом называется кривая, уравнение которой имеет вид

          Впервые эта кривая была определена в письме Декарта к Ферма в 1638 г. как кривая, для которой сумма объемов кубов, построенных на абсциссе и ординате каждой точки, равняется объему прямоугольного параллелепипеда, построенного на абсциссе, ординате и некоторой константе. Изображение листа Декарта представлено на рисунке 4.

Задачи для самостоятельного решения

1. Докажите, что кривая, заданная уравнением y = ax² + bx + c, , является параболой. Найдите ее вершину.

Ответ: .

2. В каком случае уравнение эллипса дает окружность?

Ответ: a = b.

3. Для эллипса, заданного уравнением x² + y² = 1, найдите ко­ординаты фокусов. Нарисуйте этот эллипс.

Ответ: F₁(0, 1), F₂(0, -1).

4. Для гиперболы, заданной уравнением x² - y² = 1, найдите коор­динаты фокусов и уравнения асимптот. Нарисуйте эту гиперболу.

Ответ: F₁(, 0), F₂(-, 0); y = x, y = - x.

5. Докажите, что кривая, заданная уравнением y = , является гиперболой. Найдите асимптоты этой гиперболы.

Ответ: x = 0, y = 0.

6*. Найдите уравнение лемнискаты Бернулли (см. Лекцию 3), фокусы которой расположены в точках с координатами (a, 0), (-a, 0).

Ответ: (x² + y²)² – 2a²(x² – y²) = 0.

 

Кривые, заданные уравнениями в полярных координатах

Наряду с декартовыми координатами на плоскости, во многих случаях более удобными оказываются так называемые полярные координаты.

При указании места расположения какого-нибудь объекта удобнее оп­ределять не его декартовы координаты, а направление и расстояние до объекта. Именно так в повседневной жизни показывают дорогу в городе. Например: "Вы пройдете по этой улице около 100 м, свернете направо, пройдете еще 50 м и будете у цели". При астрономических наблюдениях также гораздо удобнее использование не декартовых, а полярных коорди­нат.

Дадим определение полярных координат на плоскости. Пусть на плос­кости задана координатная прямая с выделенной точкой О и единичным от­резком ОЕ. Эта прямая в данном случае будет называться полярной осью. Точка O называется полюсом.

Полярными координатами точки А на плоскости с заданной полярной осью называется пара (r, j), где r - расстояние от точки А до точки О, j - угол между полярной осью и вектором , отсчитываемый в направлении против часовой стрелки, если j > 0, и по часовой стрелке, если j < 0 (рис. 5,а).

При этом первая координата r назы­вается полярным радиусом, а вторая j - полярным углом. Полярный угол j можно задавать в градусах или радианах.

Если на плоскости задана декартова система координат, то обычно за полюс принимается начало координат и за полярную ось – ось Ox. В этом случае каждой точке плос­кости с декартовыми координатами (x, y) можно сопоставить полярные ко­ординаты (r, j) (рис. 5,б). При этом декартовы координаты выражаются через полярные по формулам

Наоборот, полярные координаты выражаются через декартовы по формулам

, ,  .

Полярные координаты оказываются удобными для задания  кривых  на плоскости. Рассмотрим некото­рые из таких кривых.

Окружность радиуса R и центром в точке О задается уравнением r = R (рис. 6).

Действительно, окружность является геометрическим местом точек, удаленных от точки О на расстояние R. Все такие точки удовлетворяют равенству r = R. При этом, если угол j увеличивается, соответствую­щая точка на окружности движется в направлении против часовой стрелки, описывая круги. Если же угол j уменьшается, соответствующая точка описывает круги в направлении по часовой стрелке.

Трилистник – кривая, задаваемая уравнением r = sin 3 j.

Для построения этой кривой сначала заметим, что, поскольку радиус неотрицателен, должно выполняться неравенство sin 3j ³ 0, решая которое находим область допустимых значений углов j:

0 £ j £ 60; 120 £ j £ 180; 240 £ j £300.

Итак, пусть 0 £ j £60°. Если угол j изменяется от нуля до 30°, то sin 3j изменяется от нуля до единицы и, следовательно, радиус r изменя­ется от нуля до единицы. Если угол изменяется от 30° до 60°, то радиус изменяется от единицы до нуля. Таким образом, при изменении угла j от 0° до 60° точка на плоскости описывает кривую, похожую на очертания лепестка, и возвращается в начало координат. Такие же лепестки получа­ются, когда угол изменяется в пределах от 120° до 180° и от 240° до 300° (рис. 7).

Розы – семейство кривых, полярные уравнения которых имеют вид r=asin kj, где a – положительное число, k – положительное рациональное число. Частным случаем роз является трилистник. Некоторые другие розы представлены на рисунках 8 а,б.

Конхоида. Для вывода полярного уравнения конхоиды (см. Лекцию 3) воспользуемся прямоугольной системой координат (рис. 9). Примем начало координат за полюс и ось абсцисс за полярную ось. Тогда полярное уравнение конхоиды будет иметь вид

Строфоида. Для вывода полярного уравнения строфоиды  (см. Лекцию 3) воспользуемся прямоугольной системой координат (рис. 10). Примем начало координат за полюс и ось абсцисс за полярную ось. Тогда OC = , AC=dtg j и полярное уравнение строфоиды будет иметь вид

Улитка Паскаля. Для вывода уравнения улитки Паскаля (см. Лекцию 3) введем полярную систему координат, беря в качестве полюса – полюс улитки Паскаля, и в качестве полярной оси – луч, проходящий через центр образующей окружности (рис. 11). Полярное уравнение улитки Паскаля будет иметь вид

r = 2Rcosj + l.

          Заметим, что в случае l = 2R улитка Паскаля является кардиоидой.

Лист щавеля.     С помощью уравнения в полярных координатах можно задавать самые различные формы цветов и листов. В качестве примера рассмотрим лист щавеля (рис. 12), задаваемого уравнением

r = 1 + cos 3j + sin²3j.

Задачи для самостоятельного решения

1. На плоскости с заданной на ней полярной осью изобразите точки с полярными координатами: (1, 0), (2, -), (, -), (1, ).

2. Используя транспортир и линейку, найдите полярные координаты точек, изображенных на рисунке 13.

3. Для следующих точек с заданными полярными координатами найдите их декартовы координаты: а) (1, ); б) (2, - ).

Ответ: а) (, ); б) .

4. Для следующих точек с заданными декартовыми координатами най­дите их полярные координаты: а) (); б) (-10, 0); в) (1, -); г) (-, 1).

Ответ: а) (2, ); б) (10, ); в) (2, -); г) (2, ).

5. Могут ли разным полярным координатам соответствовать одинако­вые точки на плоскости?

Ответ: Да.

6. Нарисуйте геометрическое место точек на плоскости, полярные координаты которых удовлетворяют неравенствам: а) 30° < j < 60°; б) 1 < r < 2; в) 30° < j < 60°, 1 < r < 2.

7. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением  r = sin 4 j.

8. Для  параболы  x²  = 4ay выберем в качестве полярной оси луч, идущий по оси Oy с началом в фокусе F(0, a) параболы. Переходя от де­картовых к полярным координатам, покажите, что парабола с выколотой вершиной задается уравнением

.

9. Докажите, что уравнение

задает эллипс, если 0 < e < 1, и гиперболу, если e > 1.

 

Спирали

Спираль Архимеда - кривая, задаваемая уравнением

r = aj,

где a - некоторое  фиксированное число.

Предположим, что a > 0, и построим график этой кривой. Если   j = 0, то r = 0. Это означает, что кривая проходит через начало координат. Поскольку радиус неотрицателен, отрицательным углам j никакие точки на кривой не соответствуют. Посмотрим, как изменяется радиус при увеличе­нии угла j. В этом случае радиус r также будет увеличиваться. Напри­мер, при j =  имеем r = a; при j = p получаем r = ap, т.е. в два раза больше. При j =  значение радиуса r будет в три раза больше и т.д. Соединяя плавной кривой полученные точки, изобразим кри­вую, которая называется спиралью Архимеда в честь ученого, ее открыв­шего и изучившего (рис. 14).

Геометрическим свойством, характеризующим спираль Архимеда, явля­ется постоянство расстояний между соседними витками. Каждое из них равно 2pa. Действительно, если угол j увеличивается на 2π, т.е. точка делает один оборот против часовой стрелки, то радиус увеличивается на 2pa, что и составляет расстояние между соседними витками.

По спирали Архимеда идет звуковая дорожка на грампластинке. Туго свернутый рулон бумаги в профиль также представляет собой спираль Ар­химеда. Металлическая пластинка с профилем в виде половины витка архи­медовой спирали часто используется в конденсаторе переменной емкости. Одна из деталей швейной машины - механизм для равномерного наматывания ниток на шпульку - имеет форму спирали Архимеда.

Логарифмическая спираль. Логарифмическая спираль задается уравнением в полярных коорди­натах r =  , где a - некоторое фиксированное положительное число, j  - угол, измеряемый в радианах (рис. 15).

В отличие от спирали Архимеда, логарифмическая спираль бесконечна в обе стороны, так как угол j может изменяться от - до +. При этом, если a > 1, то при увеличении угла радиус увеличивается, а если 0 < a < 1, то при увеличении угла радиус уменьшается.

Одним из основных свойств логарифмической спирали является то, что в любой ее точке угол между касательной к ней и радиусом-век­тором сохраняет постоянное значение.

Для доказательства этого воспользуемся тем, что касательную к кривой в точке А можно определить как предельное положение секущей АА₁ при А₁ стремящейся к А.

Пусть точки В, В₁ получены поворотом лучей ОА и ОА₁ на угол j, (рис. 15). Тогда треугольники ОАА₁ и ОВВ₁ подобны, и поэтому углы ОАА₁ и ОВВ₁ равны. При А стремящейся к А₁ эти углы дадут углы между касательными и радиусами-векторами в точках А и В соответственно. Следовательно, угол между касательной и радиусом-вектором не зависит от положения точек на логарифмической спирали, т.е. сохраняет постоянное значение.

Именно это свойство логарифмической спирали используется в раз­личных технических устройствах. Например, при изготовлении вращающихся ножей, что позволяет сохранять при вращении постоянный угол резания. В гидротехнике по логарифмической спирали изгибают трубу, подводящую по­ток воды к лопастям турбины, благодаря чему напор воды используется с наибольшей производительностью.

Ночные бабочки, ориентируясь по параллельным лунным лучам, инс­тинктивно сохраняют постоянный угол между направлением полета и лучом света. Однако, если вместо луны они ориентируются на близко располо­женный источник света, например, на пламя свечи, то инстинкт их подво­дит. Сохраняя постоянный угол между направлением полета и источником света, они двигаются по скручивающейся логарифмической спирали и попа­дают в пламя свечи.

 

Задачи для самостоятельного решения

1. Может ли в спирали Архимеда, задаваемой уравнением r = aj, коэффициент a быть отрицательным?

Ответ: Да.

2. Нарисуйте спираль Архимеда, заданную уравнением r = -j. Чему равно расстояние между соседними витками этой спирали?

3. Человек идет с постоянной скоростью вдоль радиуса вращающейся карусели. Какой будет траектория его движения относительно земли?

Ответ: Спираль Архимеда.

4. Нарисуйте гиперболическую спираль, задаваемую уравнением r = .

5. Нарисуйте спираль Галилея, которая задается уравнением       r = aj² (a > 0). Она вошла в историю математики в XVII веке в связи с задачей нахождения формы кривой, по которой двигается свободно падающая в области экватора точка, не обладающая начальной скоростью, сообщаемой ей вращением земного шара.

6. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r =.

7. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = .

 

Кривые, заданные параметрическими уравнениями

Рассмотрим вопрос о том, как траектория движения точки описывается с помощью уравнений. Поскольку положение точки на плоскости однозначно определяется ее координатами, то для задания движения точки достаточно задать зависи­мости ее координат x, y от времени t, т.е. задать функции

В этом случае для каждого момента времени t мы можем найти положение точки на плоскости.

Кривая на плоскости, описываемая точкой, координаты которой удовлетворяют этим уравнениям при изменении параметра t, называется параметрически заданной кривой на плоскости. Сами урав­нения называются параметрическими уравнениями.

График функции y=f(x) является частным случаем параметрически заданной кривой на плоскости. Параметрическими уравнениями в этом случае будут уравнения

Если кривая задана уравнением в полярных координатах r = r(j), то, переходя к декартовым координатам, ее можно задать и параметрическими уравнениями

Окружность. Окружность радиуса R с центром в начале координат можно рассмат­ривать как параметрически заданную кривую на плоскости с параметричес­кими уравнениями

При изменении параметра t от нуля до 2π точка на окруж­ности делает один оборот против часовой стрелки, начиная и заканчивая в точке с координатами (R, 0). При дальнейшем увеличении параметра t точка будет многократно проходить по окружности в направлении против часовой стрелки.

Лист Декарта. Листом Декарта называется кривая, задаваемая уравнением x³+y³-3axy=0 (рис. 16).  Полагая в этом уравнении y=tx и решая его относительно x, получим параметрические уравнения декартова листа

Циклоида. Рассмотрим циклоиду – кривую, которая описывается точкой, закрепленной на окружности радиуса R, когда эта окружность катится по оси Ox (рис. 17).

Найдем параметрические уравнения циклоиды. Пусть окружность катится по оси Ox и в начальный момент времени касается начала координат. Предположим, что окружность повернулась на некото­рый угол величины t. При этом точка касания O на окружности переместится в точку А. Поскольку дуга АР окружности при этом прокатилась по отрезку OР, то их длины равны, т.е. АР = OР = Rt. Для координат x, y точки А имеем

x = OP - AQ = Rt - R sin t = R(t - sin t),

y = O₁P -  O₁Q = R -  R cos t = R(1 - cos t)

и, таким образом, параметрическими уравнениями циклоиды являются урав­нения

Трохоида. Обобщением циклоиды является трохоида – траектория движения точки, закрепленной на радиусе окружности, или его продолжении, когда эта окружность катится по прямой.

Так же как и в случае с циклоидой, показывается, что параметрическими уравнениями трохоиды являются

где d – расстояние от точки до центра окружности.

  Если d <R, то кривая называется укороченной циклоидой (рис. 18,а).

  Если d >R, то кривая называется удлиненной циклоидой (рис. 18,б).

Кардиоида – кривая, являющаяся траекторией движения точки, закрепленной на окружности, катящейся по окружности того же радиуса.

Обозначим через O центр неподвижной окружности радиуса a. В качестве полюса возьмем точку C на окружности, соответствующую начальному моменту времени. Пусть катящаяся окружность повернулась на угол j и точка C переместилась в точку C₁ (рис. 19,а). Четырехугольник OCC₁O₁ является равнобедренной трапецией. Следовательно, полярный угол точки C₁ будет равен j и

OC₁=2a(1-cos j).

Таким образом, уравнение кардиоиды будет иметь вид

r =2a(1-cos j).

Эпициклоиды.      Рассмотрим теперь ситуацию, когда точка закреплена на окружности радиуса r, катящейся по окружности радиуса R. Получаемые кривые подразделяются на эпициклоиды и гипоциклоиды в зависимости от того, располагается ли катящаяся окружность с внешней или внутренней стороны. Выведем уравнения эпициклоиды.

  Пусть центр O неподвижной окружности  является началом координат и точка A(0, R) соответствует начальному моменту времени. Предположим, что катящаяся с внешней стороны окружность повернулась на угол, равный t. При этом точка A переместилась в точку A₁(x,y) (рис. 19, б). Обозначим отношение  через m. Из равенства длин дуг AB и A₁B следует, что угол AOB равен mt. Далее,

A₁O₁C = A₁O₁B - CO₁O = t – ( – mt)

и, следовательно,

sinA₁O₁C = sin(t – ( – mt)) = - cos(t+mt),

cosA₁O₁C = cos(t – ( – mt)) =  sin(t+mt).

Учитывая, что x = OP – OC, y = O₁C -  O₁Q, получаем параметрические уравнения эпициклоиды

В частности, если m = 1, параметрические уравнения кардиоиды имеют вид

Еще один частный случай эпициклоиды показан на рисунке 20.

Аналогичным образом показывается, что если окружность радиуса r = mR катится по окружности радиуса R с внешней стороны, то точка, закрепленная на радиусе катящейся окружности на расстоянии h от центра, описывает кривую, задаваемую параметрическими уравнениями

При этом, если h < R, то кривая называется укороченной эпициклоидой, а если h > R, то удлиненной эпициклоидой.

Гипоциклоиды. Так же как и для эпициклоиды показывается, что уравнения гипоциклоиды имеют вид

В частности, параметрические уравнения астроиды (рис. 21) (m=), имеют вид

Параметрические уравнения кривой Штейнера (рис. 22) (m=), имеют вид

Еще один частный случай гипоциклоиды показан на рисунке 23.

Если окружность радиуса r = mR катится по окружности радиуса R с внутренней стороны, то точка, закрепленная на радиусе катящейся окружности на расстоянии h от центра, описывает кривую, задаваемую параметрическими уравнениями

При этом, если h < R, то кривая называется укороченной гипоциклоидой, а если h  > R, то удлиненной гипоциклоидой.

 

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите параметрические уравнения прямой, проходящей через точки A₁(x₁, y₁), A₂(x₂, y₂).

Ответ:

2. Какую кривую задают параметрические уравнения ?

Ответ: Парабола.

3. Докажите, что параметрические уравнения  задают эллипс. Найдите координаты его фокусов.

4. Найдите параметрические уравнения: а) спирали Архимеда; б) логарифмической спирали.

Ответ: а) б)

5. Выясните, какая часть листа Декарта соответствует изменению параметра t: а) от 0 до +µ; б) от –1 до 0; в) от –µ до –1.

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые. – 3-е изд. – М.: МЦНМО, 2000.

2. Маркушевич А.И. Замечательные кривые. – М.- Л.: Гос. изд. течн. – теор. лит., 1951. - / Популярные лекции по математике, выпуск 4.

3. Савелов А.А. Плоские кривые. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960.

4. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия 7-9. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005.