И.М. Смирнова, В.А. Смирнов

МНОГОГРАННИКИ

 Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера

В школьных учебниках геометрии многогранниками обычно называются тела, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников, назы­ваемых гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника.

Многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, т.е. вместе с любыми двумя своими точками содержит и соединяющий их отрезок.

На рисунке 1 приведены примеры выпуклых и невыпуклых многогранников.

Рассмотрим некоторые свойства выпуклых многогранников.

Свойство 1. В выпуклом многограннике все грани являются выпуклыми многоугольниками.

Доказательство. Пусть F - какая-нибудь грань многогранника M, и A, B – точки, принадлежащие грани F (рис. 2). Из условия вы­пуклости многогранника M, следует, что отрезок AB целиком содержится в многограннике M. Поскольку этот отрезок лежит в плоскости многоуголь­ника F, он будет целиком содержаться и в этом многоугольнике, т.е. F - выпуклый многоугольник.

Свойство 2. Выпуклый многогранник может быть составлен из пирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность многогранника.

Доказательство. Пусть M - выпуклый многогранник. Возьмем ка­кую-нибудь внутреннюю точку S многогранника M, т.е. такую его точку, которая не принадлежит ни одной грани многогранника M. Соединим точку S с вершинами многогранника M отрезками (рис. 3). Заметим, что в силу вы­пуклости многогранника M, все эти отрезки содержатся в M. Рассмотрим пирамиды с вершиной S, основаниями которых являются грани многогранни­ка M. Эти пирамиды целиком содержатся в M, и все вместе составляют многогранник M.

Свойство 3. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

Доказательство. Предположим противное, т.е. существуют точки A и B многогранника M, лежащие по разные стороны от плоскости некоторой его грани N (рис. 4). Рассмотрим пирамиды с вершинами в точках A, B, основаниями которых является грань N. В силу выпуклости многогранника, эти пирамиды целиком в нем содержатся. Это противоречит тому, что N является гранью многогранника M.

Для выпуклых многогранников имеет место свойство, связывающее число его вершин, ребер и граней, доказанное в 1752 году Леонардом Эйлером, и получившее название теоремы Эйлера.

Прежде чем его сформулировать рассмотрим известные нам многогранники и заполним следующую таб­лицу, в которой В - число вершин, Р - ребер и Г - граней данного мно­гогранника:

 

 

Из этой таблицы непосредственно видно, что для всех выбранных мно­гогранников имеет место равенство В - Р + Г = 2. Оказывается, что это равенство справедливо не только для этих многогранников, но и для про­извольного выпуклого многогранника.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство

В - Р + Г = 2,

где В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней данного мно­гогранника.

Доказательство. Для доказательства этого равенства представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим (вырежем) од­ну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости. Полу­чим многоугольник (образованный ребрами удаленной грани многогранника), разбитый на более мелкие многоугольники (образованные остальными гранями многогранника).

Заметим, что многоугольники можно деформировать, увеличивать, уменьшать или даже искривлять их стороны, лишь бы при этом не происходило разрывов сторон. Число вершин, ребер и граней при этом не изменится.

 Докажем, что для полученного разбиения многоугольника на более мелкие многоугольники имеет место равенство

(*)  В - Р + Г ' = 1,

где В – общее число вершин, Р – общее число ребер и Г ' – число многоугольников, входящих в разбиение. Ясно, что Г '= Г – 1, где Г – число граней данного мно­гогранника.

Докажем, что равенство (*) не изменится, если в каком-нибудь многоугольнике данного разбиения провести диагональ (рис. 5, а). Действитель­но, после проведения такой диагонали в новом разбиении будет В вершин, Р+1 ребер и количество многоугольников увеличится на единицу. Следовательно, имеем

В - (Р + 1) + (Г '+1) = В – Р + Г '.

Пользуясь этим свойством, проведем диагонали, разбивающие входя­щие многоугольники на треугольники, и для полученного разбиения пока­жем выполнимость равенства (*) (рис. 5, б). Для этого будем последо­вательно убирать внешние ребра, уменьшая количество треугольников. При этом возможны два случая:

а) для удаления треугольника ABC требуется снять два ребра, в на­шем случае AB и BC;

б) для удаления треугольника MKN требуется снять одно ребро, в нашем случае MN.

В обоих случаях равенство (*) не изменится. Например, в первом случае после  удаления треугольника граф будет состоять из В – 1 вершин, Р – 2 ребер и Г ' – 1 многоугольника:

(В - 1) - (Р + 2) + (Г ' – 1) = В – Р + Г '.

Самостоятельно рассмотрите второй случай.

Таким образом, удаление одного треугольника не меняет равенство (*). Продолжая этот процесс удаления треугольников, в конце концов, мы придем к разбиению, состоящему из одного треугольника. Для такого раз­биения В = 3, Р = 3, Г ' = 1 и, следовательно, B – Р + Г ' = 1. Значит, равенство (*) имеет место и для исходного разбиения, откуда оконча­тельно получаем, что для данного разбиения многоугольника справедливо равенство (*). Таким образом, для исходного выпуклого многогранника справедливо равенство В - Р + Г = 2.

Пример многогранника, для которого не выполняется соотношение Эйлера, показан на рисунке 6. Этот многогранник имеет 16 вершин, 32 ребра и 16 граней. Таким образом, для этого многогранника выполняется равенство В – Р + Г = 0.

Используя соотношение Эйлера, докажем, следующее свойство выпуклых многогранников.

Свойство 4. В любом выпуклом многограннике найдется грань с числом ребер меньшим или равным пяти.

Действительно, в каждой вершине многогранника сходится, по крайней мере, три ребра. Если количество вершин равно В и в каждой из них сходится три ребра, то общее число ребер будет больше или равно 3В : 2. Делить на два нужно потому, что при таком подсчете ребер мы каждое ребро посчитаем дважды – один раз, как ребро выходящее из одной его вершины, а второй раз, как ребро, выходящее из второй его вершины. Таким образом, для любого многогранника имеет место неравенство 3В  2Р.

Обозначим через Г_n число граней с n ребрами. Тогда Г = Г₃ + Г₄ + Г₅ + Г₆ + … . Каждая треугольная грань имеет три ребра и число треугольных граней равно Г₃. Поэтому общее число ребер в треугольных гранях равно 3Г₃. Аналогично, общее число ребер в четырехугольных гранях равно 4Г₄ и т. д.

Поскольку каждое ребро многогранника содержится ровно в двух гранях, то при таком подсчете ребер, мы каждое ребро посчитаем дважды и, следовательно, будет иметь место равенство 2Р = 3Г₃ + 4Г₄ + 5Г₅ + 6Г₆ + … .

Воспользуемся равенством  6В – 6Р + 6Г = 12, получающимся умножением обеих частей сооотношения Эйлера на 6. По доказанному выше, имеет место неравенство 6В  4Р и, следовательно, неравенство 6Г – 2Р  12. С другой стороны, 6Г = 6Г₃ + 6Г₄ + 6Г₅ + 6Г₆ + … , 2Р = 3Г₃ + 4Г₄ + 5Г₅ + 6Г₆ + … . Подставляя эти выражения в неравенство, получим неравенство  3Г₃ + 2Г₄ + Г₅ + 0Г₆ – Г₇ – …  12. В левой части, начиная с Г₇ стоят отрицательные числа. Поэтому для того, чтобы вся сумма была больше или равна 12 нужно, чтобы хотя бы одно из чисел Г₃ или Г₄ или Г₅ было отлично от нуля, т.е. в многограннике существовала грань с соответствующим числом ребер.

 

Упражнения

1. На рисунке 1 укажите выпуклые и невыпуклые  многогранники.

Ответ: Выпуклые – б), д); невыпуклые – а), в), г).

2. Приведите пример невыпуклого многогранника, у которого все грани являются выпуклыми многоугольниками.

Ответ: Рисунок 1, а).

3. Верно ли, что объединение выпуклых многогранников является выпуклым многогранником?

Ответ: Нет.

4. Может ли число вершин многогранника равняться числу его гра­ней?

Ответ: Да, у тетраэдра.

5. Установите связь между числом плоских углов П многогранника и числом его ребер Р.

Ответ: П = 2Р.

6. Гранями выпуклого многогранника являются только треугольники. Сколько у него вершин В и граней Г, если он имеет: а) 12 ребер; б) 15 ребер? Приведите примеры таких многогранников.

Ответ: а) В = 6, Г = 8, октаэдр; б) В = 7, Г = 10, пятиугольная бипирамида.

7. Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит три ребра. Сколько он имеет вершин В и граней Г, если у него: а) 12 ребер; б) 15 ребер? Нарисуйте эти многогранники.

Ответ: а) В = 8, Г = 6, куб; б) В = 10, Г = 7, пятиугольная призма.

8. В каждой вершине выпуклого многогранника сходится по четыре ребра. Сколько он имеет вершин В и граней Г, если число ребер равно 12? Нарисуйте эти многогранники.

Ответ: В = 6, Г = 8, октаэдр.

9. Докажите, что в любом выпуклом многограннике есть треугольная грань или в какой-нибудь его вершине сходится три ребра.

10. Подумайте, где в рассуждениях, показывающих справедливость соотношения Эйлера, использовалась выпуклость многогранника.

11. Чему равно В – Р + Г для многогранника, изображенного на рисунке 6?

Ответ: 0.

 

Правильные многогранники

Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями яв­ляются равные правильные многоугольники, и все многогранные углы равны.

Рассмотрим возможные правильные многогранники и прежде всего те из них, гранями которых являются правильные треугольники. Наиболее простым таким правильным многогранником является треугольная пирамида, гранями которой являются правильные треугольники (рис. 7). В каждой ее вершине сходится по три грани. Имея всего четыре грани, этот мно­гогранник называется также правильным тетраэдром, или просто тетраэдром, что в переводе с греческого языка означает четырехгранник.

Многогранник, гранями которого являются правильные треугольники, и в каждой вершине сходится четыре грани, изображен на рисунке 8. Его поверхность состоит из восьми правильных треугольников, поэтому он называется октаэдром.

Многогранник, в каждой вершине которого сходится пять правильных треугольников, изображен на рисунке 9. Его поверхность состоит из двадцати правильных треугольников, поэтому он называется икосаэдром.

Заметим, что поскольку в вершинах выпуклого многогранника не мо­жет сходиться более пяти правильных треугольников, то других правиль­ных многогранников, гранями которых являются правильные треугольники, не существует.

Аналогично, поскольку в вершинах выпуклого многогранника может сходиться только три квадрата, то, кроме куба (рис. 10), других пра­вильных многогранников, у которых гранями являются квадраты не сущест­вует. Куб имеет шесть граней и поэтому называется также гексаэдром.

Многогранник, гранями которого являются правильные пятиугольники, и в каждой вершине сходится три грани, изображен на рисунке 11. Его по­верхность состоит из двенадцати правильных пятиугольников, поэтому он называется додекаэдром.

Рассмотрим понятие правильного многогранника с точки зрения топо­логии науки, изучающей свойсва фигур, не зависящих от различных дефор­маций без разрывов. С этой точки зрения, например, все треугольники эквивалентны, так как один треугольник всегда может быть получен из любого другого соответствующим сжатием или растяжением сторон. Вообще все многоугольники с одинаковым числом сторон эквивалентны по той же причине.

Как в такой ситуации определить понятие топологически правильного многогранника? Иначе говоря, какие свойства в определении правильного многогранника являются топологически устойчивыми и их следует оста­вить, а какие не являются топологически устойчивыми и их следует отб­росить.

В определении правильного многогранника количество сторон и коли­чество граней являются топологически устойчивыми, т.е. не меняющимися при непрерывных деформациях. Правильность же многоугольников не явля­ется топологически устойчивым свойством. Таким образом, мы приходим к следующему определению.

Выпуклый многогранник называется топологически правильным, если его гранями являются многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Два многогранника называются топологически эквивалентными, если один из другого можно получить непрерывной деформацией.

Например, все треугольные пирамиды являются топологически пра­вильными многогранниками, эквивалентными между собой. Все параллелепи­педы также являются эквивалентными между собой топологически правиль­ными многогранниками. Не являются топологи­чески правильными многогранниками, например, четырехугольные пирамиды.

Выясним вопрос о том, сколько существует не эквивалентных между собой топологически правильных многогранников.

Как мы знаем, существует пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Казалось бы, топологичес­ки правильных многогранников должно быть гораздо больше. Однако оказы­вается, что никаких других топологически правильных многогранников, не эквивалентных уже известным правильным, не существует.

Для доказательства этого воспользуемся теоремой Эйлера. Пусть дан топологически правильный многогранник, гранями которого являются n - угольники, и в каждой вершине сходится m ребер. Ясно, что n и m больше или равны трех. Обозначим, как и раньше, В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней этого многогранника. Тогда

nГ = 2P; Г =; mB = 2P; В = .

По теореме Эйлера, В - Р + Г = 2 и, следовательно,

Откуда Р = .

Из полученного равенства, в частности, следует, что должно выполняться неравенство 2n + 2m – nm > 0, которое эквивалентно неравенству (n – 2)(m – 2) < 4.

Найдем всевозможные значения n и m, удовлетворяющие найденному неравенству, и заполним следующую таблицу

 

          Например, значения n = 3, m = 3 удовлетворяют неравенству (n – 2)(m – 2) < 4. Вычисляя значения Р, В и Г по приведенным выше формулам, получим Р = 6, В = 4, Г = 4.

          Значения n = 4, m = 4 не удовлетворяют неравенству (n – 2)(m – 2) < 4 и, следовательно, соответствующего многогранника не существует.

Самостоятельно проверьте остальные случаи.

Из этой таблицы следует, что возможными топологически правильными многогранниками являются только правильные многогранники, перечислен­ные выше, и многогранники, им эквивалентные.

Упражнения

1. Сколько вершин, ребер и граней имеют: а) тетраэдр; б) октаэдр; в) куб; г) икосаэдр; д) додекаэдр?

Ответ: а) В = 4, Р = 6, Г = 4; б) В = 6, Р = 12, Г = 8; в) В = 8, Р = 12, Г = 6; г) В = 12, Р = 30, Г = 20; д) В = 20, Р = 30, Г = 12.

2. Чему равны плоские углы додекаэдра?

Ответ: 108

3. Представьте многогранник - бипирамиду, сложенную из двух пра­вильных тетраэдров совмещением их оснований. Будет ли он правильным многогранником?

Ответ: Нет

4. Является ли пространственный крест (фигура, составленная из семи равных кубов, рисунок 12) правильным многогранником? Сколько квадратов ограничивает его поверхность? Сколько у него вершин В и ребер Р?

Ответ: Нет, 30 квадратов, В = 32, Р = 60.

5. Ребро октаэдра равно 1. Определите расстояние между его противоположными вершинами.

Ответ: .

6. Докажите, что в октаэдре противоположные ребра па­раллельны.

7. Сколько красок потребуется для раскраски граней правильных многогранников, так, чтобы соседние грани были окрашены в разные цвета?

Ответ: Тетраэдр – 4, куб – 3, октаэдр – 2, икосаэдр – 4, додекаэдр – 4.

8. В многограннике вырезали одну грань и оставшиеся грани растя­нули на плоскости. Нарисуйте соответствующие графы для правильных мно­гогранников. Какому многограннику соответствует граф на рисунке 13?

Ответ: Октаэдр.

 

Полуправильные многогранники

В предыдущем параграфе мы рассмотрели правильные многогранники, т.е. такие выпуклые многогранники, гранями которых являются равные правильные многоугольники, и в каждой вершине ко­торых сходится одинаковое число граней. Если в этом определении допус­тить, чтобы гранями многогранника могли быть различные правильные мно­гоугольники, то получим многогранники, которые называются полуправиль­ными (равноугольно полуправильными).

Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники (возможно, и с разным числом сторон), и все многогранные углы равны.

К полуправильным многогранникам относятся правильные n-угольные призмы, все ребра которых равны. Например, правильная пятиугольная призма на рисунке 14 имеет своими гранями два правильных пятиу­гольника - основания призмы и пять квадратов, образующих боковую по­верхность призмы. К полуправильным многогранникам относятся и так на­зываемые антипризмы. На рисунке 15 мы видим пятиугольную антип­ризму, полученную из пятиугольной призмы поворотом одного из основа­ний относительно другого на угол 36. Каждая вершина верхнего и нижне­го оснований соединена с двумя ближайшими вершинами другого основания.

Кроме этих двух бесконечных серий полуправильных многогранников имеется еще 13 полуправильных многогранников которые впервые открыл и описал Архимед - это тела Архимеда.

Самые простые из них получаются из правильных многогранников опе­рацией "усечения", состоящей в отсечении плоскостями углов многогран­ника. Если срезать углы тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсе­кает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получим усеченный тетраэдр, имеющий восемь граней (рис. 16). Из них четыре - правильные шестиугольники и четыре - правильные треугольники. В каждой вершине этого многогранника сходятся три грани.

Если указанным образом срезать вершины октаэдра и икосаэдра, то получим соответственно усеченный октаэдр (рис. 17) и усеченный ико­саэдр (рис. 18). Обратите внимание на то, что поверхность футбольно­го мяча изготавливают в форме поверхности усеченного икосаэдра. Из ку­ба и додекаэдра также можно получить усеченный куб (рис. 19) и усе­ченный додекаэдр (рис. 20).

Для того, чтобы получить еще один полуправильный многогранник, проведем в кубе отсекающие плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины. В результате получим полуправильный многогранник, который называется кубооктаэдром (рис. 21). Его гранями являются шесть квадратов, как у куба, и восемь правильных треугольников, как у октаэдра. Отсюда и его название - кубооктаэдр.

Аналогично, если в додекаэдре отсекающие плоскости провести через середины ребер, выходящих из одной вершины, то получим многогранник, который называется икосододекаэдром (рис. 22). У него двадцать гра­ней - правильные треугольники и двенадцать граней - правильные пятиу­гольники, т.е. все грани икосаэдра и додекаэдра.

К последним двум многогранникам снова можно применить операцию усечения. Получим усеченный кубооктаэдр (рис. 23) и усеченный икосо­додекаэдр (рис. 24).

Мы рассмотрели 9 из 13 описанных Архимедом полуправильных многог­ранников. Четыре оставшихся - многогранники более сложного типа.

На рисунке 25 мы видим ромбокубооктаэдр. Его поверхность состоит из граней куба и октаэдра, к которым добавлены еще 12 квадра­тов.

На рисунке 26 изображен ромбоикосододекаэдр, поверхность кото­рого состоит из граней икосаэдра, додекаэдра и еще 30 квадратов. На рисунках 27, 28 представлены соответственно так называемые плосконосый (иногда называют курносый) куб и плосконосый (курносый) додекаэдр, поверхности которых состоят из граней куба или додекаэдра, окруженных правильными треугольниками.

Как видим, каждая поверхность этих многогранников состоит из двух или трех типов граней: квадраты, треугольники, пятиугольники и треу­гольники, квадраты, пятиугольники и треугольники. Модели этих многог­ранников будут особенно привлекательны, если при их изготовлении грани каждого типа раскрасить в свой особый цвет.

Упражнения

1. Какие грани имеют усеченный тетраэдр и усеченный куб?

Ответ: 4 треугольника и 4 шестиугольника, 8 треугольников и 6 восьмиугольников.

2. Поверхность какого полуправильного многогранника напоминает поверхность футбольного мяча?

Ответ: Усеченный икосаэдр.

3. Докажите, что правильная n-угольная призма (n=3, 4, 5...) с квадратными боковыми гранями является полуправильным многогранником.

4. Какую часть ребер тетраэдра, выходящих из одной вершины, должны отсекать плоскости, чтобы получившийся в ре­зультате усеченный тетраэдр был полуправильным многогранником?

Ответ: 1/3.

5. Какую часть ребер куба, выходящих из одной вершины, должны отсекать плоскости, чтобы получившийся в ре­зультате усеченный куб был полуправильным многогранником?

Ответ: .

6.  Какую часть ребер октаэдра, выходящих из одной вершины, должны отсекать плоскости, чтобы получившийся в ре­зультате усеченный октаэдр был полуправильным многогранником?

Ответ: 1/3.

7. Какую часть ребер правильного додекаэдра, выходящих из одной вершины, должны отсекать плоскости, чтобы получившийся в ре­зультате усеченный додекаэдр был полуправильным многогранником?

Ответ: .

8. Подсчитайте число вершин В, ребер Р и граней Г: а) усеченного октаэдра; б) усеченного додекаэдра.

Ответ: а) В = 24, Р = 36, Г = 14; б) В = 60, Р = 90, Г = 32.

9. На рисунке 29 изображены пять многогранников.  Многогранни­ки,  расположенные в углах рисунка,  получены из куба одной и  той  же операцией.  Что это за операция?  Как называются все изображенные мно­гогранники?

Ответ: Операция усечения; а) усеченный куб; б) кубооктаэдр; в) октаэдр; г) усеченный октаэдр.

10. Кубооктаэдр получен усечением куба. Найдите его ребро, если ребро куба равно 1.

Ответ: .

11. Икосододекаэдр получен усечением додекаэдра. Найдите его ребро, если ребро додекаэдра равно 1.

Ответ: .

12. Приведите пример многогранника, не являющегося полуправильным, гранями которого являются правильные многоугольники.

Ответ: Например, пространственный крест.

 

Звездчатые многогранники

Кроме правильных и полуправильных многогранников красивые формы имеют так называемые правильные звездчатые многогранники. Они получаются из пра­вильных многогранников продолжением граней или ребер аналогично тому, как правильные звездчатые многоугольники получаются продолжением сторон правильных многоугольников.

Первые два правильных звездчатых многогранника были открыты И. Кеплером (1571-1630), а два других почти 200 лет спустя построил французский математик и механик Л. Пуансо (1777-1859). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники называются телами Кеплера-Пуансо.

В работе "О многоугольниках и многогранниках" (1810) Пуансо описал четыре правильных звездчатых многогранника, но вопрос о существовании других таких многогранников оставался открытым. Ответ на него был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком О. Коши (1789-1857). В работе "Исследование о многогранниках" он доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует.

Рассмотрим вопрос о том, из каких правильных многогранников можно получить правильные звездчатые многогранники. Из тетраэдра, куба и октаэдра правильные звездчатые многогранники не получа­ются. Возьмем додекаэдр. Продолжение его ребер приводит к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником (рис. 30,а), и в результате возникает многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром (рис. 30,б).

При продолжении граней додекаэдра возникают две возможности. Во-первых, если рассматривать правильные пятиугольники, то получится так называемый большой додекаэдр (рис. 31). Если же, во-вторых, в качестве граней рассматривать звездчатые пятиугольники, то получается большой звездчатый додекаэдр (рис. 32).

Икосаэдр имеет одну звездчатую форму. При продолжении граней пра­вильного икосаэдра получается большой икосаэдр (рис. 33).

Таким образом, существуют 4 типа правильных звездчатых многогран­ников.

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений.

Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки - это звездчатые многогранники (рис 34). С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

Упражнения

1. На рисунке 35 изображен многогранник, называемый звездчатым октаэдром. Он был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти сто лет переоткрыт И. Кеплером и назван им "Stella octangula" - звезда восьмиу­гольная.  Является  ли этот многогранник правильным звездчатым?

Ответ: Нет.

2. Как можно получить звездчатый октаэдр из куба?

Ответ: Вершины звездчатого октаэдра являются вершинами куба.

3. Звездчатый октаэдр является объединением двух правильных тет­раэдров. Подумайте, какой фигурой является пересечение указанных тет­раэдров?

Ответ: Октаэдром.

4. Звездчатый октаэдр может быть получен добавлением правильных треугольных пирамид к граням октаэдра. Какими при этом должны быть боковые ребра пирамид, если ребра октаэдра равны 1.

Ответ: 1.

5. Сколько вершин, ребер и граней имеет малый звездчатый додека­эдр?

Ответ: 12 вершин выпуклых пятигранных углов; 30 ребер; 12 звездчатых пятиугольных граней.

6. Малый звездчатый додекаэдр может быть получен добавлением правильных пятиугольных пирамид к граням додекаэдра. Какими при этом должны быть боковые ребра пирамид, если ребра додекаэдра равны 1?

Ответ: .

7. Большой додекаэдр может быть получен удалением из икосаэдра правильных треугольных пирамид, основаниями которых являются грани икосаэдра, а вершины лежат внутри икосаэдра. Какими при этом должны быть боковые ребра пирамид, если ребра икосаэдра равны 1?

Ответ: .