И.М. Смирнова

ИЗ ИСТОРИИ НАГЛЯДНОЙ ГЕОМЕТРИИ

В условиях современной реформы школьного образования курс матема­тики претерпевает весьма существенные изменения и, в первую очередь, это касается курса геометрии. На страницах приложения "Математика" на­чата очень своевременная и нужная дискуссия о преподавании школьной геометрии (см. газету «Математика» NN 34, 41, 43, 45/97, N 17/98). В предлагаемой статье речь пойдет о курсе геометрии для младших классов, к которому сейчас проявляется большой интерес. Совсем недавно я побывала на одном мето­дическом семинаре, где обсуждались проблемы преподавания геометрии в реформируемой школе, новые школьные учебники, авторские программы и т.п. Велико было мое удивление, когда курс наглядной геометрии для младших классов стал выдаваться за совершенно новое и оригинальное яв­ление наших дней. Вместе с тем этот курс является лишь относительно новым для российской школы и имеет давнюю и славную историю, которая насчитывает уже более ста лет. Кратко остановимся на некоторых ее страницах.

Методика наглядной геометрии в России началась в эпоху школьной реформы середины XIX века. Это было время общественного подъема, в ко­тором педагогические вопросы занимали видное место. Достаточно вспом­нить, что именно в это время было организовано Петербургское педагоги­ческое общество, издается целый ряд педагогических журналов, среди ко­торых "Педагогический сборник", "Учитель", "Народная школа", "Семья и школа", " Русский педагогический вестник", "Педагогический листок" и мн.др. В 1864 году принимается новый Устав школы, в котором были учреждены новые типы учебных заведений. В частности, появились двукласс­ные училища Министерства народного просвещения (которые с 1872 года стали называться городскими). Естественно возник вопрос о введении в них начального подготовительного курса геометрии. Заметим, что этот курс на протяжении своего существования получал различные названия в зависимости от своей основной цели. Например, досистематический, под­готовительный, приготовительный, пропедевтический. Из этих названий ясно, что курс геометрии младших классов должен был прежде всего гото­вить учащихся к изучению систематического курса геометрии. Авторы, ко­торые хотели подчеркнуть особенности способов изложения начального курса геометрии, отвечающих возрастным особенностям учащихся, называли его интуитивным, наглядным, опытным, эмпирическим.

Первым российским учебником по начальному курсу геометрии стала книга барона М.О.Косинского "Наглядная геометрия" ([13]). Заметим, что он работал в Смольном институте, где трудился К.Д.Ушинский, и находил­ся под большим влиянием идей великого русского педагога, в частности его книги для начального обучения "Детский мир". В предисловии к свое­му курсу Косинский подробно и убедительно поясняет цель и необходи­мость введения наглядных курсов геометрии. Он пишет: "В высшей степени важно сгладить переход от наглядного к отвлеченному, сделать его пос­тепенным, начать с рассуждений, основанных на внешних чувствах, и только мало-помалу присоединять к ним рассуждения, заставляющие рабо­тать способности внутренние". В этой книге проявилась одна из сущест­венных особенностей курсов наглядной геометрии, а именно построение его на принципе фузионизма (о нем мы рассказывали в статье [19]). В данном случае он означает слитное преподавание элементов планиметрии и стереометрии. Рассматриваемая книга начинается с изучения простейших пространственных фигур, "с протяжений о трех измерениях", на основе которых изучаются важнейшие понятия геометрии.

Работа М.О.Косинского оказала большое влияние на становление и развитие курса наглядной геометрии. Она открыла целую серию работ, в которую вошли учебники того времени М.Борышкевича ([4]), Е.Волкова ([5]), З.Б.Вулиха ([6]). Причем в этих учебниках видное место заняли задачи на построение изучаемых геометрических фигур, на основе которых изучались их свойства.

В это время (1872-1873) в Петербургском педагогическом обществе велась жаркая дискуссия по поводу построения, содержания, методов пре­подавания курса начальной геометрии (подробные отчеты и протоколы этой дискуссии напечатаны в журнале "Семья и школа" за 1873 год). И хотя полезность этого курса не вызывала никаких сомнений, его цели были по­нятными и общепризнанными, нашлось немало противников введения курса наглядной геометрии в реальную практику работы школы. Основная причина негативного отношения - перегрузка учебных планов и программ. В защиту пропедевтического курса геометрии выступили видные методисты-математи­ки того времени В.А.Евтушевский, В.А.Латышев, А.Н.Страннолюбский.

Первый, например, высказал мнение о необходимости разработки учебников по наглядной геометрии трех типов, а именно:

а) для начальной школы;

б) курсы практического характера, направленные на подготовку к реальной жизни;

в) пропедевтические курсы по наглядной геометрии для подготовки к изучению систематического курса евлидовой геометрии.

В.А.Латышев разработал два вида начального курса геометрии: эле­ментарный и элементарно-теоретический. Первый - это курс, носящий практический характер, в его основу кладутся прикладные аспекты гео­метрии в различного рода измерениях, вычислениях площадей, объемов, в съемке планов и т.п. Отсюда большое значение в этом курсе отводится геометрическим построениям с помощью циркуля и линейки. Вместе с тем Латышев говорит о том, что ученика нужно специально и постепенно гото­вить к овладению дедуктивным курсом геометрии. По его мнению, "расс­мотрение форм должно предшествовать занятиям геометрией и составлять содержание приготовительного курса геометрии".

А.Н.Страннолюбский вошел в историю российского просвещения не только как выдающийся педагог-математик, но и как неустанный поборник высшего женского образования. Любопытно, что именно у него брала уроки математики юная Софья Корвин-Круковкая (С.Ковалевская). Страннолюбский принял активное участие в дискуссии и отстаивал насущную необходимость введения курса наглядной геометрии в женских гимназиях.

Несмотря на все достижения, вопрос о постановке курса наглядной геометрии оставался открытым. Более того, наступил длительный период реакции. Новый министр просвещения Д.А.Толстой (1866-1880) заменил бо­лее-менее либеральный школьный Устав 1864 года. По новому Уставу приб­лизительно половина учебного времени тратилась на изучение древних языков и поэтому было резко сокращено число часов, отводимых на препо­давание естественных наук, в том числе и на математику. Пропедевтичес­кий курс геометрии вообще был исключен из учебного плана.

Такое отношение к наглядному курсу геометрии продолжалось вплоть до конца XIX века. На рубеже XIX-XX столетий в образовании сложилась такая ситуация, когда, с одной стороны, педагогическая и методическая науки накопили много новых идей в теории обучения, а с другой стороны, имела место старая общеобразовательная система, не соответствующая достижениям педагогики и психологии, подвергающаяся резкой критике. Сложившееся противоречие, естественно, не могло не привести к новой реформе образования. Преобразования касались как всей системы обучения в целом, так и обучения отдельным предметам. Особенно сильным измене­ниям подверглось преподавание математики. Ускорению школьной реформы во многом способствовала революция 1905 года. Своеобразным итогом дви­жения за реформу образования стали исторические Всероссийские съезды преподавателей математики.

Первый съезд проходил в Петербурге с 27.12.1911 г. по 3.1.1912 г., а второй ровно через два года в Москве. На них впервые учителя и ученые-математики имели возможность обсудить важнейшие проблемы препо­давания математики в школе. Поражает высокоавторитетный состав съез­дов. Достаточно назвать фамилии таких видных педагогов-математиков, как А.М.Астряб, Н.А.Извольский, А.Р.Кулишер, К.Ф.Лебединцев, С.И.Шо­хор-Троцкий и мн.др. Это позволило на высоком научно-методическом уровне подойти к решению вставших перед школой проблем. По-существу, съезды подытожили всю огромную работу в области преподавания математи­ки в школе и выработали далеко идущие перспективные планы на будущее. Результаты съездов поражают обилием интересных идей, находок, решений проблем, многие из которых актуальны и в наши дни. Это непосредственно касается и обсуждаемой нами проблемы постановки пропедевтического кур­са геометрии, причем особый интерес представляет первый съезд.

Уже на первом пленарном заседании  был  заслушан  большой доклад С.А.Богомолова "Обоснование геометрии в связи с постановкой ее препо­давания". В нем автор подробно остановился на общем значении курса ге­ометрии и его основных целях. В частности, он сказал ([20], том 1, с.25): "Что касается самих учащихся, то для них геометрия является на­иболее усвояемым и интересным отделом математики; преподавание геомет­рии облегчается и оживляется чертежами, призывом к воображению ... ге­ометрия имеет выдающееся значение, как предмет общего и специально-ма­тематического образования. Помимо сообщения начальных геометрических сведений, мы видим цель ее преподавания в развитии двух умственных способностей: интуиции пространства и логического мышления". В соот­ветствии со сказанным С.А.Богомолов предложил разбить весь курс гео­метрии на две части, а именно: пропедевтическую и систематическую. Причем первая должна иметь целью развить пространственную интуицию и накопление геометрических знаний. Учащиеся должны проделать в этом курсе тот путь, каким в глубокой древности шло человечество, заклады­вая основы геометрической науки. При этом самым широким образом надо использовать их способность пространственного воображения, ее постоян­ное упражнение должно служить лучшим средством к ее развитию. Более того, в пропедевтическом курсе необходимо отвести видное место так на­зываемому лабораторному методу, т.е. экспериментированию всякого рода; последнее может происходить при помощи построений с простейшими гео­метрическими приборами, построений на клетчатой бумаге, вырезания и накладывания фигур и т.п.

Таким образом, по мнению С.А.Богомолова, именно начальный курс геометрии должен носить фузионистский характер. Эта идея была поддер­жана и одобрена съездом и широко на нем обсуждена. Одним из самых зна­чительных выступлений по этому поводу был доклад А.Р.Кулишера "Началь­ный (пропедевтический) курс геометрии в средней школе. Его цели и осу­ществление" ([20], том 1, с.377-413). В нем прежде всего указаны не­достатки систематического курса геометрии, основным из которых, с точ­ки зрения докладчика, является то, что изучение геометрии начинается поздно и не с рассмотрения пространственных фигур, а "ребенок живет главным образом в мире разного рода многогранников с прямыми, по боль­шей части, углами, чаще всего в мире прямоугольных параллелепипедов, кубов и немногих круглых тел (причем ему известны, самое большее, наз­вания куба и шара), мы склонны думать, как это подтверждается много­численными наблюдениями преподавателей-практиков, что тела для детей "проще", чем прямые и плоскости" (там же, с.380). А.Р.Кулишер ссылает­ся на пример весьма удачного сороколетнего опыта работы в данном нап­равлении немецкого педагога П.Трейтлейна (известна его книга: Методика геометрии /Под ред.Ф.В.Филипповича. - Спб.; ч.I, 1912; ч.II, 1913), который предъявил следующие требования к начальному курсу геометрии:

1). Обучение в наших средних школах должно быть подразделено на две ступени: низшую и высшую.

2). Метод обучения на низшей ступени - это наглядное обучение ге­ометрии: оно исходит из рассмотрения тел, откуда выводятся  различные геометрические образы, их преобразования и создание новых; развитие самостоятельности учеников при помощи выполняемых ими действий - оцен­ки на глаз, путем измерений (в том числе и на открытом воздухе), рисо­вания, лепки и ручного труда;  оно развивает способность к тонкому со­зерцанию и  пространственному воображению и ведет от наглядного позна­ния к доказательству и обоснованию познанного.

3). Обучение на высшей ступени имеет своей основой приобретенные раньше представления и воздвигает, постоянно прибегая к рассмотрению тел, научное здание элементарной геометрии, как образец дедуктивной науки.

На основе этих принципов Трейтлейн разработал один из лучших на­чальных курсов геометрии. Докладчик подробно представил его содержа­ние, которое начинается с рассмотрения игральных костей. В живой неп­ринужденной беседе, в которой принимает участие весь класс, выясняются основные свойства куба. Вот небольшой фрагмент этой беседы (там же, с.391): "Поставьте это тело (куб) на стол; придайте ему какое-нибудь другое положение! Придайте ему еще третье положение! Сколькими спосо­бами можно его поставить? Нельзя ли изготовить его из папки? Кто знает или видел кубы или похожие на куб предметы в другом месте?" (Это было общее знакомство). Далее следует рассмотрение поверхности: "Положите руку на поверхность куба, который будем держать как попало. Вы положи­те руку на другую грань поверхности. Что означает слово "поверхность"? Для отличия у меня имеется здесь шар". Сопоставляя шар и куб, ребята выясняют различие между их поверхностями. Потом на кубе демонстрируют­ся взаимные расположения прямых и плоскостей в пространстве. Вслед за этим материалом идет изучение прямой призмы (с квадратом или прямоу­гольником в основании), прямого цилиндра и шара. Правильный тетраэдр рассмотрен вместе с равносторонним треугольником. Правильная пирамида - вместе с равнобедренным и прямоугольным треугольниками. Затем расс­матривается параллелограмм, ромб, прямой конус и произвольный тетра­эдр. Далее - сумма углов треугольника, усеченная пирамида и трапеция; четырехугольник; окружность. В конце курса рассматриваются площадь (параллелограмма, треугольника, трапеции, круга) и объем (прямой приз­мы, цилиндра, конуса, пирамиды). Введено понятие равновеликости (на примере прямоугольника и квадрата), представлена теорема Пифагора.

Заметим, что в рассматриваемом курсе начальной геометрии вопросы планиметрии и стереометрии чередуются, они перемешаны друг с другом.

Далее А.Р.Кулишер в своем докладе остановился на еще одном инте­ресном и значительном, с его точки зрения, начальном курсе геометрии

В.Кемпбеля "Наглядная геометрия" ([11]). Эта книга начинается с предс­тавления простейших многогранников и их изготовления. Первая фигура - куб (о нем разбирается 65 вопросов!). Это неслучайно, т.к. ребятам хо­рошо известна эта простейшая фигура, с раннего детства они с удоволь­ствием включаются в различные игры с кубиками (вспомните соответствую­щие современные книги, например: Никитин Б.П. Ступеньки творчества или развивающие игры. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1989. - 160 с.). В предисловии к "Наглядной геометрии" В.Кемпбеля говорится, что основная задача курса видится в "приучении детей к наблюдению простых геометри­ческих форм и соотношений между предметами, которые ежедневно попада­ются им на глаза, в обучении их употреблению простых инструментов для геометрических построений и ознакомлении их с разнообразными способами определения длины, площади и объема предметов".

После куба рассматриваются параллелепипед, призма, скошенная призма (боковые грани призма пересечены плоскостью, непараллельной ос­нованию), пирамида, усеченная пирамида, скошенная пирамида (боковые грани пирамиды пересечены плоскостью, непараллельной основанию, ци­линдр, конус. Для всех фигур рассмотрено их изготовление - моделирова­ние. только после этого предлагаются плоские фигуры: углы, треугольни­ки, четырехугольники, многоугольники, круги, правильные многоугольни­ки; простейшие построения (деление пополам отрезка, угла, дуги; прове­дение перпендикуляров; построение угла, равного данному; описанные и вписанные окружности в треугольники и некоторые четырехугольники). За­вершается курс измерением геометрических величин - площадями и объема­ми.

Обратим внимание на то, что в предлагаемом курсе принята другая, противоположная по отношению к традиционному курсу геометрии, последо­вательность изложения, а именно, сначала изучаются вопросы стереомет­рии, а затем планиметрии.

Охарактеризовав наиболее значимые пропедевтические курсы геомет­рии, А.Р.Кулишер высказал свою позицию по обсуждаемому вопросу. Он предложил критерии, которым должен удовлетворять курс геометрии, чтобы его по праву можно было считать подготовительным курсом геометрии ([20], том 1, с.409):

1. Пропедевтический курс геометрии должен удовлетворять всем строгим требованиям общей дидактики, принимающей во внимание особен­ности того или иного возраста, и в силу этого основанной на разумной (не утрированной) самодеятельности учащихся.

2. Материал, изучаемый здесь, не должен быть очень велик. Все рассмотренное должно стать прочным достоянием учащихся и перейти при посредстве планомерной классной (отчасти домашней у ребенка работы) в область твердых навыков.

3. Слово должно сопутствовать всему тому, что выполняет мысль и рука учащегося.

4. Материал должен быть связан с теми пространственными представ­лениями, которые ребенок вынес или может вынести из повседневного опы­та, а также с некоторыми сторонами строительного и инженерного искусс­тва и творений природы.

5. Изучаемые объекты должны быть связаны известной зависимостью; возникновение новых образов из старых весьма важно. Образы трех изме­рений должно целесообразно сочетать с изображением фигур на плоскости.

6. На материале должны влиять, в известной мере, приемы мышления новых геометров (текучесть геометрических образов).

7. В нем должны всплывать рассуждения и обобщения (особенно в заключении) доказательного характера.

8. Тщательно продуман должен быть переход от начального курса к следующей части занятий геометрией.

Следует специально подчеркнуть, что автор не только провозгласил эти тезисы, но и полностью реализовал их в блестящей серии своих пос­ледующих работ, среди которых "Начальный курс геометрии в средней шко­ле" ([14]), а также : Учебник геометрии. Часть I. Курс подготовитель­ный. - Спб.; 1914; Методика и дидактика подготовительного курса гео­метрии. - Петроград; 1918.

Обратим внимание еще на одно выступление - доклад Н.А.Тамамшевой "О реформе преподавания математики. Общие положения и программы. Со­держание курса математики за первые шесть лет обучения" ([20], том 2, с.140-162). Предложенная автором программа носила фузионистский харак­тер, в ней произведено слияние всех разделов школьной математики - арифметики, алгебры и геометрии. В процессе обсуждения этого материала выяснилась одна из главных трудностей реализации идеи фузионизма, а именно: если рассматривать темы из различных разделов математики через большие промежутки времени, например полгода, то это неприемлемо по педагогическим соображениям, т.к. нарушается один из основных принци­пов - принцип непрерывности; если рассматривать более частую смену разделов математики, то появятся новые минусы - калейдоскопность, пестрота изучаемого материала. Слияние различных разделов математики может не только не дать положительных результатов, но, наоборот, при­вести к негативным последствиям, к формальному, механическому соедине­нию разнородного учебного материала. Программа Н.А.Тамамшевой получила одобрение только в части, которая касалась введения элементов нагляд­ной геометрии и формирования пространственных представлений учащихся, начиная с первого года обучения.

Приведенные доклады вызвали очень большой интерес и отклик у слу­шателей и повлекли за собой широкие прения с многочисленными  выступле­ниями. Эти  обсуждения  нашли  отражения в резолюции съезда,  где было сказано о необходимости введения пропедевтического курса наглядной ге­ометрии. Этот курс должен содействовать более целесообразному изучению систематического курса геометрии, помогать правильному развитию мышле­ния учеников и выработки "пространственной грамотности".

Всероссийские съезды преподавателей математики сыграли исключи­тельно важную роль в решении рассматриваемой проблемы. К сожалению, не все стало возможным осуществить, т.к. вскоре началась первая мировая война, потом революция, тяжелые годы восстановления разрушенного хо­зяйства. Тем не менее, в первые годы советской власти переиздавались лучшие дореволюционные учебники, задачники, методические пособия и т.п., в частности, и курсы наглядной геометрии. Например, был опубли­кован курс А.М.Астряба ([1]). В предисловии автор говорит о том, что наиболее сложным и трудным является развитие у детей геометрических представлений и изучение пространственных фигур, поэтому курс начина­ется с изготовления простейших тел - куба, прямоугольного параллелепи­педа, цилиндра, пирамиды, конуса. Затем рассматриваются свойства каж­дой представленной фигуры. Этому посвящена вся первая часть книги. Во второй части изучаются плоские фигуры - прямая, угол, окружность и круг, треугольник, прямоугольник и квадрат. В заключительную, третью часть, включены вопросы измерения геометрических величин - вычисление площадей и объемов. В основу разработки данного курса автором были по­ложены следующие соображения (там же, с.5):

Первой стадией познания геометрических форм является непосредс­твенное восприятие их, поэтому необходимо, чтобы в нем принимали учас­тие не только глаза, дети должны лепить и рисовать, измерять и клеить, накладывать и разрезать.

Второй стадией психологического процесса познания геометрической формы является возникновение в детском сознании геометрических обра­зов.

Наконец, в третьих, внимание и интерес у детей могут поддержи­ваться только в случае, когда курс будет согласован с особенностями детской природы - деятельной и творческой.

К данному курсу автором был написан специальный задачник ([2]). Вот примеры нескольких наиболее типичных заданий из него:

- Назовите несколько предметов, имеющих форму прямоугольной приз­мы.

- Приходилось ли вам когда-нибудь сидеть внутри прямоугольной призмы?

- Вырежьте из картофеля или мыла прямоугольную призму.

- Я дам каждому из вас 12 палочек. Склейте воском концы их так, чтобы получилась прямоугольная призма.

- Нарисуйте на бумаге вашу призму, сделанную из палочек.

Дальше ребятам предлагается склеить из данных разверток различные многогранники, в частности, среди которых все пять правильных многог­ранников и догадаться, почему они получили такие названия: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

Идеи о  преподавании  фузионистского  курса  наглядной  геометрии А.М.Астряб развил и изложил в своей "Методике преподавания наглядной геометрии" (которая вошла специальной отдельной главой в известный учебник Бескина Н.М. [3]). В ней определены цели изучения данного кур­са. Наиболее важной из них является то, что этот курс, во первых, яв­ляется подготовительным к изучению систематического курса. Ученики в младших классах должны конкретизировать и накапливать сведения о гео­метрических фигурах, как плоских, так и пространственных. Во-вторых, этот курс является практическим. Он призван вооружить учащихся практи­ческими знаниями геометрии. Например, дать им представления о различ­ных углах и способах их измерения, вычислении площадей и объемов, на­хождения расстояний, в том числе, до недоступных предметов и т.п.

А.М.Астрябом были выделены особенности преподавания курса нагляд­ной геометрии, который должен быть:

а) конкретным, "созерцательным";

б) активным, т.е. ученики должны не только внешне смотреть на ге­ометрическую фигуру, но уметь нарисовать ее, склеить из развертки (ес­ли это возможно), уметь сознательно анализировать ее свойства;

в) небольшим по объему, но строго последовательным и содержатель­ным, т.е. не надо увлекаться стремлением дать ученикам как можно боль­ше сведений из геометрии в этом начальном курсе, это приведет к накоп­лению учениками легко забываемых, не связанных логически между собой фактов;

г) практическим, в том смысле, чтобы реализовать вторую цель изу­чения наглядной геометрии, о которой мы говорили выше;

д) развивающим логическое мышление учащихся, в курсе наглядной геометрии нельзя ограничиваться только интуитивным восприятием, учени­ки должны не только созерцать, но и мыслить;

е) развивающим  пространственные  представления учащихся.

Именно поэтому многие авторы курсов наглядной геометрии начинают их с рассмотрения пространственных фигур. Но такое построение на прак­тике по прошествии многих лет опытной экспериментальной проверки выя­вило ряд существенных недостатков (там же, с.264): "одновременное изу­чение свойств плоских фигур и более сложных для восприятия пространс­твенных объектов рассеивало внимание детей, лишало их возможности сос­редоточивать все свое внимание на изучении какого-либо геометрического объекта. Оказалось более целесообразным начинать изучение наглядной геометрии с простейших плоских фигур (прямой линии, прямого угла, пря­моугольника), постепенно переходя к изучению более сложных пространс­твенных тел: куба, прямоугольной призмы и т.д.".

Заметим, что с плоских фигур начинается много известных курсов наглядной геометрии, например, [8], [21].

В курсах начальной геометрии, естественно, большое внимание уде­ляется наглядности: всевозможным рисункам, схемам, таблицам, чертежам, моделям, иллюстрациям и т.п.

В 20-е года у нас в стране очень увлеклись идеей "комплексов". Например, в математике, наряду с традиционными курсами, в комплексах стали изучаться элементы высшей математики - аналитической геометрии, начал математического анализа, начертательной геометрии, теории веро­ятностей. Позже это было признано ошибочным. В 1934 году было принято решение о создании трех ступеней школы: начальной, неполной средней и средней. Школа стала единой, все учащиеся должны были получить одина­ковый объем знаний, что выразилось в создании единых программ и учеб­ников. С одной стороны, это сыграло свою положительную роль, т.к. при­вело к созданию стабильных учебников, в частности по геометрии А.П.Ки­селева и задачника Н.А.Рыбкина. С другой стороны, было отброшено и много полезного, например, элементы высшей математики и фузионистский подготовительный курс геометрии.

В итоге, передовой дореволюционный опыт долгое время не использо­вался, только сейчас начинается возрождение таких курсов наглядной ге­ометрии. А связующим звеном между прошлым и настоящим являются две за­мечательные работы авторов П.А.Карасева ([10]) и А.М.Пышкало ([18]). Автор первой названной работы считал, что в отличие от "геометрическо­го материала" в младших классах "наглядная геометрия" (которую он на­зывал также интуитивной) не должна быть придатком к арифметике, вырож­даясь в изучение мер длины, площади и объема. Им был разработан "наг­лядный метод" изучения геометрии в младших классах, в основу которого были положены "живое" созерцание, конструирование, моделирование, построения и измерения. Книга содержит оригинальные упражнения, напри­мер, с нитью, листом бумаги, палочками и т.п.

Большой заслугой А.М.Пышкало является выделение так называемых уровней геометрического развития, а именно ([18], с.7):

I. Исходный уровень - характеризуется тем, что геометрические фи­гуры воспринимаются как целое.  Учащиеся не видят частей  (элементов) фигуры, не воспринимают отношений между элементами фигуры и фигурами.

II. Учащиеся начинают различать элементы фигур, устанавливать от­ношения между этими элементами и отдельными фигурами, т.е. на этом уровне производится анализ воспринимаемых фигур. Это происходит в про­цессе (и с помощью) наблюдений, измерения, вычерчивания, моделирова­ния. Свойства фигур устанавливаются экспериментально.

III. Учащиеся устанавливают связи между свойствами фигуры и сами­ми фигурами. На этом уровне происходит логическое упорядочивание свойств фигуры и самих фигур. Выясняется возможность следования одного свойства из другого; уясняется роль определения.

IV. Учащиеся постигают значение дедукции в целом как способа построения и развития всей геометрической теории. Переходу на этот уровень способствует усвоение учащимися (понимание ими) роли и сущнос­ти аксиом, определений, теорем; логической структуры доказательства; анализа логических связей понятий и предложений.

V. Этот уровень мышления в области геометрии соответствует совре­менному (гильбертовскому) этапу строгости. На этом уровне достигается отвлечение от конкретной природы объектов и конкретного смысла отноше­ний, связывающих эти объекты. Человек, мыслящий на таком уровне, раз­вивает теорию вне всякой конкретной интерпретации. Геометрия здесь приобретает общий характер и более широкое применение.

Переход от одного уровня к другому не может происходить произ­вольным образом и зависеть только от возрастных особенностей школьни­ков. Развитие, идущее к более высокому уровню геометрического разви­тия, протекает в основном под влиянием обучения, т.е. прямо зависит от его содержания и методов. Конечно, никакая, даже совершенная методика, не дает возможности перескакивать через уровни, но все же переход от одного уровня к другому, время этого перехода во многом зависят от ме­тодики. Учащиеся младших классов должны достичь второго уровня геомет­рического развития. Ученым была разработана и представлена соответс­твующая система изучения геометрии в I-IV классах, причем он полагал, что процесс геометрического развития должен быть (там же, с.22):

а) непрерывным (не допускать пропусков - периодов бездействия);

б) равномерным (не допускать перегрузки на каких-то этапах);

в) разнообразным (касаться многих сторон в изучении пространс­твенных отношений).

Разнообразие, по мнению автора, нужно понимать в смысле одновре­менного ознакомления учащихся с двумерной и трехмерной геометрией.

К сожалению, эти работы по созданию самостоятельного подготови­тельного самостоятельного пропедевтического курса геометрии младших классов не нашли тогда должного понимания. В настоящее время в период новой реформы школьного образования возрождается интерес к курсу наг­лядной геометрии, и очень хотелось бы, чтобы его авторы помнили и не забывали славные традиции истории российской методики преподавания ма­тематики.

Литература

1. Астряб А.М. Наглядная геометрия (лабораторный метод изложе­ния). Начальный курс. - 6-е изд. - М.-Л.: Гостехиздат, 1923.

2. Астряб А.М. Задачник по наглядной геометрии. - М.; 1924.

3. Бескин Н.М. Методика геометрии (с приложением главы "Методика преподавания наглядной геометрии" А.М.Астряба). - М.-Л.: Учпедгиз, 1947, с.255.

4. Борышкевич М. Курс элементарной геометрии с практическими за­дачами /Для городских училищ по программе Винницкого съезда учителей. - 2-е изд. - Киев; 1893.

5. Волков Е. Образовательный курс наглядной геометрии: Руководс­тво для преподавателей начальных и городских школ и низших классов средних общеобразовательных заведений. - Спб.: Колесов и Михин, 1873.

6. Вулих З.Б. Краткий курс геометрии и собрание геометрических задач: Руководство для городских и уездных училищ. - Спб; 1873.

7. Гольденблат И.И.  К вопросу о пропедевтическом курсе геометрии //Математика в школе.-1959.-N 6.-С.28.

8. Извольский Н.А. Начальный курс геометрии. - М.: Школа, 1914.

9. Кавун И.Н.  Начальный курс геометрии. Часть I (частьII). - 2-е изд. -Л.; 1924.

10. Карасев П.А. Элементы наглядной геометрии в школе: Пособие для учителей. - М.: Учпедгиз, 1955.

11. Кемпбель В. Наглядная геометрия: Пособие для обучения и само­обучения /Пер. с англ. Е.Попова. - 2-е изд. - М.; 1910.

12. Колягин Ю.М. Русская школа и математическое образование. - Орел; 1996.

13. Косинский М.О. Наглядная геометрия: Для детей от 9 до 12 лет. - 4-е изд. - Спб.: Мартынов, 1902.

14. Кулишер А.Р. Начальный курс геометрии в средней школе. - Спб.; 1914.

15. Кутузов Н.Е. Наглядная геометрия: Для двухклассных школ. - 2-е изд. - М.: Сотрудник школы, 1915.

16. Ланков А.В. К истории развития передовых идей в русской мето­дике математики: Пособие для учителей. - М.: Учпедгиз, 1951.

17. Прудников В.Е. Русские педагоги-математики XVIII-XIX веков: Пособие для учителей. - М.: Учпедгиз, 1956.

18. Пышкало А.М.  Геометрия в I-IV классах (проблемы формирования геометрических представлений у младших школьников).  - 2-е изд.  - М.: Просвещение, 1968.

19. Смирнова И.М. Идея фузионизма в преподавании школьного курса геометрии //Математика (еженедельное приложение к газете "Первое сен­тября").-1998.-N 17.-С.1.

20. Труды I Всероссийского съезда преподавателей математики.  Том 1, том 2, том 3. - Спб.; 1913.

21. Шохор-Троцкий С.И.  Геометрия на задачах: Книга для учащихся. - М.: Сытин, 1909.

 

Hosted by uCoz