И.М. Смирнова, В.А. Смирнов

Признаки равенства треугольников

Из школьного курса геометрии хорошо известен признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, а именно:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 1).

Естественно поставить вопрос о том, будут ли равны треугольники, если соответствующие равные углы в треугольниках не заключены между равными сторонами. Верно ли, что если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Оказывается это неверно. Приведем пример. Рассмотрим окружность и ее хорду AB (рис. 2). С центром в точке A проведем другую окружность, пересекающую первую окружность в некоторых точках C и C₁. Тогда в треугольниках ABC и ABC₁ AB – общая сторона, AC = A₁C₁, С = С₁, однако треугольники ABC и ABC₁ не равны.

 

В формулировки признаков равенства треугольников можно включать не только стороны и углы, но и другие элементы треугольников. Рассмотрим несколько формулировок признаков равенства треугольников по трем элементам, включающим стороны, углы, высоты, биссектрисы и медианы треугольников. Выясним справедливость соответствующих признаков.

1. Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ С = С₁, AB = A₁B₁, высота AH равна высоте A₁H₁ (рис. 3). Докажем, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.

 

Действительно, прямоугольные треугольники ABH и A₁B₁H₁ равны по катету и гипотенузе. Значит, B = B₁. Учитывая, что С = С₁, имеем равенство A = A₁. Таким образом, в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, A = A₁, B = B₁.  Следовательно, эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

 

2. Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, прилежащую к данному углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника (рис. 4).

Приведем пример, показывающий, что равенство указанных элементов треугольников недостаточно для равенства самих треугольников.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и A₁B₁H₁ (H = H₁ = 90^o), в которых, AB = A₁B₁, B = B₁, AH = A₁H₁ (рис. 5).

 

На продолжениях сторон BH и B₁H₁ отложим неравные отрезки HC и H₁C₁. Тогда в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, B = B₁, высоты AH
и A₁H₁ равны, однако сами треугольники не равны.

 

3. Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AC = A₁C₁, BC = B₁C₁, медиана СM равна медиане С₁M₁ (рис. 6).

 

 

Докажем, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.

Продолжим медианы и отложим отрезки MD = CM и M₁D₁ = C₁M₁ (рис. 7).

 

Четырехугольники ACBD и A₁С₁B₁D₁ – параллелограммы. Треугольники ACD и A₁C₁D₁ равны по трем сторонам. Следовательно, ACD =  A₁C₁D₁. Аналогично, треугольники BCD и B₁C₁D₁ равны по трем сторонам. Следовательно, BCD =  B₁C₁D₁. Значит, С = С₁ и треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по двум сторонам и углу между ними.

 

4. Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу, и медиана, проведенная к этой стороне, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и медиане другого треугольника (рис. 8).

 

 

Приведем пример, показывающий, что равенство указанных элементов недостаточно для равенства самих треугольников.

Рассмотрим окружность с центром в точке M (рис. 9).

 

Проведем два диаметра AB и A₁B₁. Через точки A, A₁, M проведем еще одну окружность и выберем на ней точку C, как показано на рисунке. В треугольниках ABC и A₁B₁C AB = A₁B₁, A = A₁, медиана СM – общая. Однако треугольники ABC и A₁B₁C не равны.

 

5. Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, медиана AM равна медиане A₁M₁, медиана BK равна медиане B₁K₁ (рис. 10).

 

Докажем, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.

Действительно, точки O и O₁ пересечения медиан данных треугольников делят медианы в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, треугольники ABO и A₁B₁O₁ равны по трем сторонам. Следовательно, BAO = B₁A₁O₁ и, значит, треугольники ABM и A₁B₁M₁ равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому ABC = A₁B₁C₁. Аналогично доказывается, что BAC = B₁A₁C₁. Таким образом, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

 

6. Пусть угол и две медианы, проведенные к его сторонам, одного треугольника соответственно равны углу и двум медианам другого треугольника (рис. 11).

 

Приведем пример, показывающий, что равенство указанных элементов недостаточно для равенства самих треугольников. Для этого рассмотрим две равные окружности с центрами в точках O₁ и O₂, касающиеся друг друга в точке M (рис. 12).

 

Проведем в одной из них хорду AB и прямую AM, пересекающую вторую окружность в некоторой точке C. Проведем отрезок BC. Получим треугольник ABC. Проведем в нем медиану CK и обозначим O точку, делящую ее в отношении 2:1, считая от вершины C. Проведем окружность с центром в точке O, радиуса OC, пересекающую  вторую окружность в точке C₁. Проведем прямую C₁M и обозначим A₁ ее точку пересечения с первой окружностью. Обозначим K₁ точку пересечения хорды A₁B и прямой C₁O. В треугольниках ABC и A₁BC₁ A = A₁,  медианы CK и C₁K₁ равны, медиана  BM – общая. Однако треугольники ABC и A₁BC₁ не
равны.

 

7. Ели две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AC = A₁C₁, BC = B₁C₁, биссектриса CD равна биссектрисе С₁D₁ (рис. 13).

 

 

 

Докажем, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.

Продолжим стороны AC и A₁C₁ и отложим на их продолжениях отрезки CE = BC и C₁E₁ = B₁C₁ (рис. 14).

 

 

Тогда BE = , B₁E₁ = . Треугольники BCE и B₁C₁E₁ равны по трем сторонам. Значит, E = E₁ и BE = B₁E₁. Треугольники ABE и A₁B₁E₁ равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, AB = A₁B₁. Таким образом, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по трем сторонам.

 

8. Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу и биссектриса, проведенная к другой стороне, прилежащей к данному углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и биссектрисе другого треугольника (рис. 15).

Пример треугольников ABC и ABC₁, изображенных на рисунке 16, показывает, что равенство указанных элементов недостаточно для равенства самих треугольников.

 

 

Действительно, в треугольниках ABC и ABC₁ B – общий,  AB – общая сторона, биссектрисы AD и AD₁ равны. Однако треугольники ABC и ABC₁ не равны.

 

9. Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.

Пусть в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AC = A₁C₁, медианы CM и C₁M₁ равны, высоты CH и C₁H₁ равны (рис. 17).

 

Докажем, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.

Действительно, прямоугольные треугольники ACH и A₁C₁H₁ равны по гипотенузе и катету. Следовательно, A = A₁ и AH = A₁H₁. Прямоугольные треугольники CMH и C₁M₁H₁ равны по гипотенузе и катету. Следовательно, MH = M₁H₁,  откуда AM = A₁M₁ и, значит, AB = A₁B₁. Таким образом, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по двум сторонам и углу между ними.

 

10. Пусть сторона, медиана и высота, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника (рис. 18).

 

 

Приведем пример, показывающий, что равенство указанных элементов недостаточно для равенства самих треугольников. Для этого рассмотрим окружность и угол с вершиной в центре A этой окружности (рис. 19).

 

Отложим на его стороне отрезок AB, больший диаметра, и через его середину K проведем прямую, параллельную другой стороне угла и пересекающую окружность в некоторых точках M и M₁. Проведем прямые BM, BM₁ и точки их пересечения со стороной угла обозначим соответственно C и C₁. Тогда в треугольниках  ABC и ABC₁ сторона AB – общая, высота BH – общая, медианы AM и AM₁ равны,
однако треугольники ABC и ABC₁ не равны.

 

11. Два треугольника равны, если три медианы одного треугольника соответственно равны трем медианам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ соответственно равны медианы AK и A₁K₁, BL и B₁L₁, CM и C₁M₁ (рис. 20).

 

 

Докажем, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.

Пусть O и O₁ – точки пересечения медиан данных треугольников. Заметим, что медианы OM и O₁M₁ треугольников ABO и A₁B₁O₁ равны, так как они составляют одну третью часть соответствующих медиан данных треугольников.

По признаку равенства треугольников, доказанному нами под номером 3, треугольники ABO и A₁B₁O₁ равны и, значит, AB = A₁B₁.

Аналогично доказывается, что BC = B₁C₁ и AC = A₁C₁. Таким образом, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по трем сторонам.

 

12. Два треугольника равны, если три высоты одного треугольника соответственно равны трем высотам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ соответственно равны высоты AH и A₁H₁, BG и B₁G₁, CF и C₁F₁ (рис. 21). Докажем, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.

 

 

Обозначим стороны треугольников соответственно a, b, c и a₁,  b₁, c₁, а соответствующие высоты  h_a, b_b, h_c и h_1a, h_1b, h_1c. Имеют место равенства ah_a = bh_b = ch_c и a₁h_1a = b₁h_1b = c₁h_1c. Разделив почленно первые равенства на вторые, получим равенства , из которых следует, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны. Так как соответствующие высоты этих треугольников равны, то они не только подобны, но и равны.