И.М. Смирнова, В.А. Смирнов
Признаки равенства
треугольников
Из школьного курса геометрии хорошо известен признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, а именно:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны
двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники
равны (рис. 1).
Естественно поставить вопрос о том, будут ли равны треугольники, если соответствующие равные углы в треугольниках не заключены между равными сторонами. Верно ли, что если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
Оказывается это неверно. Приведем пример. Рассмотрим
окружность и ее хорду AB (рис. 2). С центром в точке A проведем другую окружность,
пересекающую первую окружность в некоторых точках C и C1. Тогда в
треугольниках ABC и ABC1
AB –
общая сторона, AC = A1C1, С =
С1, однако треугольники ABC и
ABC1
не равны.
В формулировки признаков равенства треугольников можно включать не только стороны и углы, но и другие элементы треугольников. Рассмотрим несколько формулировок признаков равенства треугольников по трем элементам, включающим стороны, углы, высоты, биссектрисы и медианы треугольников. Выясним справедливость соответствующих признаков.
1. Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника, то такие треугольники равны.
Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 С =
С1, AB = A1B1, высота AH равна
высоте A1H1 (рис. 3).
Докажем, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.
Действительно, прямоугольные треугольники ABH и
A1B1H1 равны по
катету и гипотенузе. Значит, B
=
B1.
Учитывая, что
С =
С1, имеем равенство
A
=
A1.
Таким образом, в треугольниках ABC и A1B1C1 AB = A1B1,
A
=
A1,
B
=
B1. Следовательно, эти треугольники равны по
стороне и двум прилежащим к ней углам.
2. Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, прилежащую к данному углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника (рис. 4).
Приведем пример, показывающий, что равенство указанных элементов треугольников
недостаточно для равенства самих треугольников.
Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и
A1B1H1 (H
=
H1
= 90o), в
которых, AB = A1B1,
B
=
B1,
AH =
A1H1 (рис. 5).
На продолжениях сторон BH и B1H1 отложим
неравные отрезки HC и H1C1. Тогда в
треугольниках ABC и A1B1C1 AB =
A1B1, B
=
B1,
высоты AH
и A1H1 равны,
однако сами треугольники не равны.
3. Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны.
Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 AC = A1C1, BC = B1C1, медиана СM равна медиане С1M1 (рис. 6).
Докажем, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.
Продолжим медианы и отложим отрезки MD = CM и M1D1 = C1M1 (рис. 7).
Четырехугольники ACBD и A1С1B1D1 –
параллелограммы. Треугольники ACD и A1C1D1 равны по трем
сторонам. Следовательно, ACD
=
A1C1D1.
Аналогично, треугольники BCD и B1C1D1 равны по
трем сторонам. Следовательно,
BCD
=
B1C1D1. Значит,
С =
С1 и треугольники ABC и A1B1C1 равны по
двум сторонам и углу между ними.
4. Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу, и
медиана, проведенная к этой стороне, одного треугольника соответственно равны
углу, стороне и медиане другого треугольника (рис. 8).
Приведем пример, показывающий, что равенство указанных элементов недостаточно для равенства самих треугольников.
Рассмотрим окружность с центром в точке M (рис. 9).
Проведем два диаметра AB и A1B1. Через
точки A, A1, M проведем еще одну
окружность и выберем на ней точку C, как показано на рисунке. В треугольниках ABC и
A1B1C AB = A1B1, A
=
A1,
медиана СM – общая. Однако треугольники ABC и A1B1C не равны.
5. Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 AB = A1B1, медиана AM равна
медиане A1M1, медиана BK равна
медиане B1K1 (рис. 10).
Докажем, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.
Действительно, точки O и O1 пересечения медиан
данных треугольников делят медианы в отношении 2:1, считая от вершины. Значит,
треугольники ABO и A1B1O1 равны по
трем сторонам. Следовательно, BAO
=
B1A1O1 и, значит,
треугольники ABM и A1B1M1 равны по
двум сторонам и углу между ними. Поэтому
ABC
=
A1B1C1. Аналогично
доказывается, что
BAC
=
B1A1C1. Таким
образом, треугольники ABC и A1B1C1 равны по
стороне и двум прилежащим к ней углам.
6. Пусть угол и две медианы, проведенные к его сторонам, одного треугольника соответственно равны углу и двум медианам другого треугольника (рис. 11).
Приведем пример, показывающий, что равенство
указанных элементов недостаточно для равенства самих треугольников. Для этого
рассмотрим две равные окружности с центрами в точках O1 и O2, касающиеся
друг друга в точке M
(рис. 12).
Проведем в одной из них хорду AB и прямую AM, пересекающую вторую
окружность в некоторой точке C.
Проведем отрезок BC.
Получим треугольник ABC.
Проведем в нем медиану CK и обозначим O точку, делящую ее в отношении 2:1, считая от вершины
C. Проведем
окружность с центром в точке O,
радиуса OC,
пересекающую вторую окружность в точке C1. Проведем
прямую C1M и обозначим A1 ее точку
пересечения с первой окружностью. Обозначим K1 точку пересечения
хорды A1B и прямой C1O. В треугольниках ABC и
A1BC1 A =
A1,
медианы CK и C1K1 равны,
медиана BM – общая.
Однако треугольники ABC и A1BC1 не
равны.
7. Ели две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника, то такие треугольники равны.
Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 AC = A1C1, BC = B1C1, биссектриса CD равна
биссектрисе С1D1 (рис. 13).
Докажем, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.
Продолжим стороны AC и A1C1 и отложим на их продолжениях отрезки CE = BC и C1E1 = B1C1 (рис. 14).
Тогда BE = , B1E1
=
. Треугольники BCE и B1C1E1 равны по
трем сторонам. Значит,
E
=
E1
и BE = B1E1.
Треугольники ABE и A1B1E1 равны по
двум сторонам и углу между ними. Значит, AB = A1B1. Таким
образом, треугольники ABC и A1B1C1 равны по
трем сторонам.
8. Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу и биссектриса, проведенная к другой стороне, прилежащей к данному углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и биссектрисе другого треугольника (рис. 15).
Пример треугольников ABC и ABC1,
изображенных на рисунке 16, показывает, что равенство указанных элементов
недостаточно для равенства самих треугольников.
Действительно, в треугольниках
ABC
и ABC1
B – общий, AB –
общая сторона, биссектрисы AD и AD1
равны. Однако треугольники ABC и ABC1
не равны.
9. Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.
Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 AC = A1C1, медианы CM и C1M1 равны, высоты CH и C1H1 равны (рис. 17).
Докажем, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.
Действительно, прямоугольные
треугольники ACH и A1C1H1 равны по
гипотенузе и катету. Следовательно, A
=
A1
и AH = A1H1. Прямоугольные
треугольники CMH и C1M1H1 равны по
гипотенузе и катету. Следовательно, MH = M1H1, откуда AM = A1M1 и, значит,
AB = A1B1. Таким
образом, треугольники ABC и A1B1C1 равны по
двум сторонам и углу между ними.
10. Пусть сторона, медиана и высота, проведенные к двум
другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и
высоте другого треугольника (рис. 18).
Приведем пример,
показывающий, что равенство указанных элементов недостаточно для равенства
самих треугольников. Для этого рассмотрим окружность и угол с вершиной в центре
A этой
окружности (рис. 19).
Отложим на его стороне
отрезок AB,
больший диаметра, и через его середину K проведем прямую, параллельную
другой стороне угла и пересекающую окружность в некоторых точках M и
M1.
Проведем прямые BM,
BM1 и
точки их пересечения со стороной угла обозначим соответственно C и
C1.
Тогда в треугольниках ABC и
ABC1
сторона AB – общая, высота BH – общая, медианы AM и
AM1
равны,
однако треугольники ABC и ABC1
не равны.
11. Два треугольника равны, если три медианы одного
треугольника соответственно равны трем медианам другого треугольника, то такие
треугольники равны.
Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 соответственно равны медианы AK и A1K1, BL и B1L1, CM и C1M1 (рис. 20).
Докажем, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.
Пусть O и O1 – точки пересечения медиан данных треугольников. Заметим, что медианы OM и O1M1 треугольников ABO и A1B1O1 равны, так как они составляют одну третью часть соответствующих медиан данных треугольников.
По признаку равенства треугольников, доказанному нами под номером 3, треугольники ABO и A1B1O1 равны и, значит, AB = A1B1.
Аналогично доказывается,
что BC = B1C1 и AC = A1C1. Таким образом,
треугольники ABC и A1B1C1 равны по
трем сторонам.
12. Два треугольника равны, если три высоты одного треугольника соответственно равны трем высотам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 соответственно равны высоты AH и A1H1, BG и B1G1, CF и C1F1 (рис. 21). Докажем, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.
Обозначим стороны
треугольников соответственно a,
b, c и
a1, b1, c1, а соответствующие высоты ha, bb, hc и h1a, h1b, h1c. Имеют место
равенства aha
= bhb
= chc
и a1h1a = b1h1b = c1h1c. Разделив
почленно первые равенства на вторые, получим равенства , из которых следует, что треугольники ABC и A1B1C1 подобны.
Так как соответствующие высоты этих треугольников равны, то они не только
подобны, но и равны.