И.М. Смирнова, В.А. Смирнов

Признаки равенства треугольников

Из школьного курса геометрии хорошо известен признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, а именно:


Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 1).

Естественно поставить вопрос о том, будут ли равны треугольники, если соответствующие равные углы в треугольниках не заключены между равными сторонами. Верно ли, что если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Оказывается это неверно. Приведем пример. Рассмотрим окружность и ее хорду AB (рис. 2). С центром в точке A проведем другую окружность, пересекающую первую окружность в некоторых точках C и C1. Тогда в треугольниках ABC и ABC1 AB – общая сторона, AC = A1C1, С = С1, однако треугольники ABC и ABC1 не равны.


 


В формулировки признаков равенства треугольников можно включать не только стороны и углы, но и другие элементы треугольников. Рассмотрим несколько формулировок признаков равенства треугольников по трем элементам, включающим стороны, углы, высоты, биссектрисы и медианы треугольников. Выясним справедливость соответствующих признаков.

1. Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 С = С1, AB = A1B1, высота AH равна высоте A1H1 (рис. 3). Докажем, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.


 


Действительно, прямоугольные треугольники ABH и A1B1H1 равны по катету и гипотенузе. Значит, B = B1. Учитывая, что С = С1, имеем равенство A = A1. Таким образом, в треугольниках ABC и A1B1C1 AB = A1B1, A = A1, B = B1.  Следовательно, эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

 

2. Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, прилежащую к данному углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника (рис. 4).


Приведем пример, показывающий, что равенство указанных элементов треугольников недостаточно для равенства самих треугольников.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и A1B1H1 (H = H1 = 90o), в которых, AB = A1B1, B = B1, AH = A1H1 (рис. 5).

 

На продолжениях сторон BH и B1H1 отложим неравные отрезки HC и H1C1. Тогда в треугольниках ABC и A1B1C1 AB = A1B1, B = B1, высоты AH

и A1H1 равны, однако сами треугольники не равны.

 


3. Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 AC = A1C1, BC = B1C1, медиана СM равна медиане С1M1 (рис. 6).

 


 


Докажем, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.

Продолжим медианы и отложим отрезки MD = CM и M1D1 = C1M1 (рис. 7).

 


Четырехугольники ACBD и A1С1B1D1 – параллелограммы. Треугольники ACD и A1C1D1 равны по трем сторонам. Следовательно, ACD =  A1C1D1. Аналогично, треугольники BCD и B1C1D1 равны по трем сторонам. Следовательно, BCD =  B1C1D1. Значит, С = С1 и треугольники ABC и A1B1C1 равны по двум сторонам и углу между ними.

 


4. Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу, и медиана, проведенная к этой стороне, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и медиане другого треугольника (рис. 8).

 


 


Приведем пример, показывающий, что равенство указанных элементов недостаточно для равенства самих треугольников.

Рассмотрим окружность с центром в точке M (рис. 9).


 


Проведем два диаметра AB и A1B1. Через точки A, A1, M проведем еще одну окружность и выберем на ней точку C, как показано на рисунке. В треугольниках ABC и A1B1C AB = A1B1, A = A1, медиана СM – общая. Однако треугольники ABC и A1B1C не равны.

 

5. Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 AB = A1B1, медиана AM равна медиане A1M1, медиана BK равна медиане B1K1 (рис. 10).


 


Докажем, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.

Действительно, точки O и O1 пересечения медиан данных треугольников делят медианы в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, треугольники ABO и A1B1O1 равны по трем сторонам. Следовательно, BAO = B1A1O1 и, значит, треугольники ABM и A1B1M1 равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому ABC = A1B1C1. Аналогично доказывается, что BAC = B1A1C1. Таким образом, треугольники ABC и A1B1C1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

 

6. Пусть угол и две медианы, проведенные к его сторонам, одного треугольника соответственно равны углу и двум медианам другого треугольника (рис. 11).


 


Приведем пример, показывающий, что равенство указанных элементов недостаточно для равенства самих треугольников. Для этого рассмотрим две равные окружности с центрами в точках O1 и O2, касающиеся друг друга в точке M (рис. 12).

 

Проведем в одной из них хорду AB и прямую AM, пересекающую вторую окружность в некоторой точке C. Проведем отрезок BC. Получим треугольник ABC. Проведем в нем медиану CK и обозначим O точку, делящую ее в отношении 2:1, считая от вершины C. Проведем окружность с центром в точке O, радиуса OC, пересекающую  вторую окружность в точке C1. Проведем прямую C1M и обозначим A1 ее точку пересечения с первой окружностью. Обозначим K1 точку пересечения хорды A1B и прямой C1O. В треугольниках ABC и A1BC1 A = A1,  медианы CK и C1K1 равны, медиана  BM общая. Однако треугольники ABC и A1BC1 не

равны.

 


7. Ели две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 AC = A1C1, BC = B1C1, биссектриса CD равна биссектрисе С1D1 (рис. 13).

 

 


 


Докажем, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.

Продолжим стороны AC и A1C1 и отложим на их продолжениях отрезки CE = BC и C1E1 = B1C1 (рис. 14).

 

 


Тогда BE = , B1E1 = . Треугольники BCE и B1C1E1 равны по трем сторонам. Значит, E = E1 и BE = B1E1. Треугольники ABE и A1B1E1 равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, AB = A1B1. Таким образом, треугольники ABC и A1B1C1 равны по трем сторонам.

 


8. Пусть угол, сторона, прилежащая к этому углу и биссектриса, проведенная к другой стороне, прилежащей к данному углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и биссектрисе другого треугольника (рис. 15).


Пример треугольников ABC и ABC1, изображенных на рисунке 16, показывает, что равенство указанных элементов недостаточно для равенства самих треугольников.

 


 


Действительно, в треугольниках ABC и ABC1 B – общий,  AB – общая сторона, биссектрисы AD и AD1 равны. Однако треугольники ABC и ABC1 не равны.

 

9. Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.

Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 AC = A1C1, медианы CM и C1M1 равны, высоты CH и C1H1 равны (рис. 17).


 


Докажем, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.

Действительно, прямоугольные треугольники ACH и A1C1H1 равны по гипотенузе и катету. Следовательно, A = A1 и AH = A1H1. Прямоугольные треугольники CMH и C1M1H1 равны по гипотенузе и катету. Следовательно, MH = M1H1,  откуда AM = A1M1 и, значит, AB = A1B1. Таким образом, треугольники ABC и A1B1C1 равны по двум сторонам и углу между ними.

 

10. Пусть сторона, медиана и высота, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника (рис. 18).

 


 


Приведем пример, показывающий, что равенство указанных элементов недостаточно для равенства самих треугольников. Для этого рассмотрим окружность и угол с вершиной в центре A этой окружности (рис. 19).

 

Отложим на его стороне отрезок AB, больший диаметра, и через его середину K проведем прямую, параллельную другой стороне угла и пересекающую окружность в некоторых точках M и M1. Проведем прямые BM, BM1 и точки их пересечения со стороной угла обозначим соответственно C и C1. Тогда в треугольниках  ABC и ABC1 сторона AB – общая, высота BH общая, медианы AM и AM1 равны,

однако треугольники ABC и ABC1 не равны.

 


11. Два треугольника равны, если три медианы одного треугольника соответственно равны трем медианам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 соответственно равны медианы AK и A1K1, BL и B1L1, CM и C1M1 (рис. 20).

 


 


Докажем, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.

Пусть O и O1 – точки пересечения медиан данных треугольников. Заметим, что медианы OM и O1M1 треугольников ABO и A1B1O1 равны, так как они составляют одну третью часть соответствующих медиан данных треугольников.

По признаку равенства треугольников, доказанному нами под номером 3, треугольники ABO и A1B1O1 равны и, значит, AB = A1B1.

Аналогично доказывается, что BC = B1C1 и AC = A1C1. Таким образом, треугольники ABC и A1B1C1 равны по трем сторонам.

 

12. Два треугольника равны, если три высоты одного треугольника соответственно равны трем высотам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 соответственно равны высоты AH и A1H1, BG и B1G1, CF и C1F1 (рис. 21). Докажем, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.

 


 


Обозначим стороны треугольников соответственно a, b, c и a1,  b1, c1, а соответствующие высоты  ha, bb, hc и h1a, h1b, h1c. Имеют место равенства aha = bhb = chc и a1h1a = b1h1b = c1h1c. Разделив почленно первые равенства на вторые, получим равенства , из которых следует, что треугольники ABC и A1B1C1 подобны. Так как соответствующие высоты этих треугольников равны, то они не только подобны, но и равны.

Hosted by uCoz