АКСИОМЫ ГЕОМЕТРИИ

АКСИОМЫ ГЕОМЕТРИИ     Здесь мы рассмотрим различные аксиоматики евклидовой геометрии, используемые в той или иной степени в школьных учебниках по геометрии.
    В Энциклопедии элементарной математики [1] евклидово пространство определяется как совокупность объектов трех видов, называемых точками, прямыми и плоскостями,и преобразованиями, переводящими совокупность всех точек в себя, называемые движениями. Между этими объектами определены отношения: точка принадлежит прямой (прямая проходит через точку), точка принадлежит плоскости (плоскость проходит через точку), прямая лежит на плоскости, точка лежит между двумя другими точками.
    Указанные объекты и отношения удовлетворяют следующим аксиомам.
    1. Аксиомы принадлежности.
1.1. Через две различные точки проходит единственная прямая.
1.2. На каждой прямой имеются, по крайней мере, две точки, ей принадлежащие.
1.3. Существуют три точки, не принадлежащие одной прямой.
1.4. Через каждые три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная плоскость.
1.5. На каждой плоскости имеется, по крайней мере, одна точка, ей принадлежащая.
1.6. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая лежит на этой плоскости.
1.7. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют, по крайней мере, еще одну общую точку.
1.8. Существуют четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.
    2. Аксиомы порядка.
2.1. Из любых трех различных точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
2.2. Для любых двух точек прямой существует такая третья точка на этой прямой, что вторая лежит между первой и третьей.
2.3. Если прямая лежит на плоскости, определяемой тремя точками A, B, C, не проходит ни через одну из этих точек и пересекает отрезок AB, то она пересекает отрезок AC или отрезок BC.
    3. Аксиомы движения.
3.1. Всякое движение является взаимно однозначным отображением пространства на себя.
3.2. Если точки A, B и C лежат на одной прямой, причем C лежит между Aи B, то всякое движение f переводит их в точки f(A), f(B), f(C), принадлежащие одной прямой, причем f(C) лежит между f(A) и f(B).
3.3. Композиция двух движений является движением.
3.4. Для всяких двух реперов, взятых в определенном порядке, существует одно и только одно движение, переводящее первый репер во второй ( Репером называется произвольная тройка (A, a, a), где A – точка, a - луч с вершиной в этой точке, a – одна из двух полуплоскостей, определяемых лучом a).
    4. Аксиомы непрерывности.
4.1 (Аксиома Архимеда). Пусть A₀, A₁, B – три точки, принадлежащие одной прямой, причем точка A₁ лежит между A₀ и B.Пусть, далее, f – движение, переводящее точку A₀ в точку A₁ и луч A₀B в луч A₁B. Положим f(A₁)=A₂, f(A₂)=A₃,… . Тогда существует такое натуральное число n, что точка B находится на отрезке A_n-1A_n.
4.2 (Аксиома Кантора). Пусть A₁, A₂, … и B₁, B₂, … такие две последовательности точек, расположенных на одной прямой, что для любого n точки A_n и B_n различны между собой и находятся на отрезке A_n-1B_n-₁. Тогда на этой прямой существует такая точка C, которая принадлежит всем отрезкам A_nB_n .
    5. Аксиома параллельности.
5.1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную прямую.
    А.Д.Александров в книге [2] к основным объектам планиметрии относит точки и отрезки, а к основным отношениям: точка является концом отрезка, точка лежит на отрезке, равенство отрезков.
    Аксиомы подразделяются на линейные и плоскостные.
    Линейные аксиомы.
    1. Аксиомы связи.
1.1 (аксиома существования). Существует хотя бы один отрезок. У каждого отрезка есть два и только два конца. Кроме того отрезок содержит другие точки: точки, лежащие на отрезке.
1.2 (аксиома проведения отрезка). Любые две точки можно соединить отрезком и притом только одним.
1.3 (аксиома деления отрезка). Всякая точка, лежащая на отрезке, делит его на два отрезка, т.е. если точка C лежит на отрезке AB, то она делит его на два отрезка AC и BC, которые не имеют общих внутренних точек.
1.4 (аксиома соединения отрезков). Если точка C лежит на отрезке AB, а B на CD, то отрезки AB и CD образуют отрезок AD.
    2. Аксиомы равенства.
2.1 (аксиома откладывания отрезка). Для любых двух отрезков AB и MN существует и притом единственный отрезок AC, равный MN и налегающий на AB.
2.2 (аксиома сравнения). Два отрезка, равные одному и тому же отрезку, равны друг другу.
2.3 (аксиома сложения). Если точка C принадлежит отрезку AB, точка C₁ принадлежит отрезку A₁B₁ и AC=A₁C₁, BC=B₁C₁, то AB = A₁B₁.
2.4 (аксиома Архимеда) Для любых данных отрезков a, b=AB существует содержащий AB отрезок AA_n, на котором есть такие точки A₁, A₂,…,A_n, что отрезки AA₁, A₁A₂,…, A_n-₁A_n равны a.
    3. Аксиома непрерывности.
3.1. Для любой последовательности вложенных отрезков A₁B₁A₂B₂…существует точка, принадлежащая всем этим отрезкам.
    4. Плоскостные аксиомы.
4.1 (аксиома деления плоскости). По отношению к каждому данному отрезку a все точки, не лежащие ни на каком отрезке, содержащем a, делятся на два класса: в один класс входят точки, лежащие с одной стороны от a, в другой – точки, лежащие с другой стороны от a, причем в каждом классе есть точки.
4.2 (аксиома откладывания угла). От каждого отрезка по данную сторону от него, от данного его конца можно отложить угол, равный данному углу. (Углы равны, если у них есть равные соответственные поперечины). При этом можно пользоваться любой поперечиной и угол будет всегда один и тот же.
4.3 (аксиома параллельных отрезков). Если отрезки AC, BD равны и идут в одну сторону от отрезка AB под прямым углом, то CD=AB.
    5. Пространственные аксиомы.
5.1 (аксиома плоскости). В пространстве существуют плоскости (фигуры, на которых выполняется планиметрия). Через каждые три точки пространства проходит плоскость.
5.2 (аксиома пересечения плоскостей). Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть их общая прямая.
5.3 (аксиома принадлежности прямой плоскости). Если прямая проходит через две точки данной плоскости, то она лежит в этой плоскости.
5.4 (аксиома разбиения пространства плоскостью). Каждая плоскость разбивает пространство на два полупространства.
5.5. (аксиома расстояния). Расстояние между любыми двумя точками пространства не зависит от того, на какой плоскости, содержащей эти точки, оно измерено.

    В книге А.В.Погорелова [3] геометрия основана на следующих аксиомах.
    1. Аксиомы принадлежности.
1.1 Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
1.2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
    2. Аксиомы порядка.
2.1. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
2.2. Прямая, лежащая в плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.
    3. Аксиомы меры для отрезков и углов.
3.1. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
3.2. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180⁰ . Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
3.3. Каково бы ни было вещественное число d > 0, существует отрезок длины d.
    4. Аксиома существования треугольника, равного данному.
4.1. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.
    5. Аксиома параллельных
5.1. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
    6. Аксиомы стереометрии
6.1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
6.2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
6.3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

    В курсе элементарной геометрии Д.И.Перепелкина [4] рассматриваются следующие аксиомы геометрии.
    1. Аксиомы соединения.
1.1. Через любые две данные точки проходит одна и только одна прямая.
1.2. На каждой прямой имеется бесчисленное множество точек.
1.3. Существуют точки, не лежащие на одной прямой.
1.4. Через любые три данные точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.
1.5. На каждой плоскости имеется бесчисленное множество точек.
1.6. Если две точки данной прямой лежат на некоторой плоскости, то и все точки этой прямой лежат на той же плоскости.
1.7. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют и вторую общую точку.
1.8. Существуют точки, не лежащие на одной плоскости.
    2. Аксиомы порядка.
2.1. Из трех точек одной прямой всегда одна и только одна лежит между двумя другими.
2.2. Если A и B – две данные точки, то на прямой AB существует как бесчисленное множество точек, лежащих между A и B, так и бесчисленное множество точек, для которых точка B лежит между точкой A и каждой из этих точек.
2.3. Всякая точка O, лежащая на прямой, разделяет остальные точки этой прямой на два класса так, что точка O лежит между любыми двумя точками различных классов, но не лежит между двумя точками одного класса.
2.4. Всякая прямая, лежащая в некоторой плоскости, делит эту плоскость на две выпуклые области.
    3. Аксиомы конгруэнтности.
3.1. Равенство отрезков и углов обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.
3.2. Пусть точка C лежит на прямой AB между точками A и B, а точка C’ на прямой A’B’ между точками A’ и B’. Если при этом AC=A’C’, BC=B’C’, то AB=A’B’. Если при этом же условии AB=A’B’, AC=A’C’, то BC=B’C’.
3.3. Пусть луч l лежит между сторонами h, k угла hk, а луч l’ – между сторонами h’, k’ угла h’k’. Если при этом hl = h’l’ и lk = l’k’, то и hk = h’k’. Если при этом же условии hk = h’k’ и hl = h’l’, то и kl = k’l’.
3.4. Пусть AB – некоторый отрезок и h’ – луч, выходящий из точки A’; на луче h’ существует одна и только одна такая точка B’, что отрезок AB конгруэнтен отрезку A’B’.
3.5. Пусть hk – некоторый угол, h’ – луч, выходящий из точки O’ и a – полуплоскость, выходящая из луча h’; в полуплоскости a существует один и только один такой луч k’, выходящий из точки O’, что hk = h’k’.
3.6. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого и углы обоих треугольников, заключенные между этими сторонами, равны, то и остальные углы этих треугольников равны.
    4. Аксиомы окружности.
4.1. Если один конец отрезка лежит внутри окружности, а другой – вне окружности, то отрезок имеет с окружностью общую точку.
4.2. Если один конец некоторой дуги окружности лежит внутри другой окружности, а другой конец – вне окружности, то дуга окружности и вторая окружность имеют общую точку.
    5. Аксиома параллельности.
5.1. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной.
    6. Аксиома Архимеда.
6.1. Каковы бы ни были два данных отрезка, всегда найдется такое кратное меньшего отрезка, которое превосходит больший.
    7. Аксиома Кантора.
7.1. Если дана безгранично убывающая последовательность вложенных отрезков, то существует такая точка, которая будет внутренней или конечной точкой каждого из этих отрезков.

    В школьном учебнике геометрии Л.С.Атанасяна и др. используется следующая система аксиом геометрии.
    1. Аксиомы взаимного расположения точек, прямых и плоскостей.
1.1. На каждой прямой и в каждой плоскости имеются точки.
1.2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой, и по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
1.3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
1.4. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
1.5. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и все точки прямой лежат в этой плоскости.
1.6. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
1.7. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
1.8. Каждая точка прямой разделяет ее на две части (два луча) так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от данной точки, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от данной точки.
1.9. Каждая прямая, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от данной прямой, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от данной прямой.
1.10. Каждая плоскость разделяет пространство на две части (два полупространства) так, что две точки одного и того же полупространства лежат по одну сторону от данной плоскости, а любые две точки разных полупространств лежат по разные стороны от данной плоскости.
    2. Аксиомы наложения и равенства.
    Наложением называется отображение пространства на себя. Две фигуры называются равными если одна из них переходит в другую с помощью некоторого наложения.
2.1. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.
2.2. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.
2.3. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.
2.4. Два равных угла hk и h₁k₁, лежащие в плоскостях, являющихся границами полупространств P и P₁ можно совместить наложением так, что при этом совместятся полупространства P и P₁, причем это можно сделать двумя способами: 1) так, что луч h совместится с лучом h₁, а луч k – с лучом k₁; 2) так, что луч h совместится с лучом k₁, а луч k – с лучом h₁.
2.5. Любая фигура равна самой себе.
2.6. Если фигура Ф равна фигуре Ф₁, то фигура Ф₁ равна фигуре Ф.
2.7. Если фигура Ф₁ равна фигуре Ф₂, а фигура Ф₂равна фигуре Ф₃, то фигура Ф₁ равна фигуре Ф_3.
    3. Аксиомы измерения отрезков.
3.1. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.
3.2. При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.
    4. Аксиома параллельных.
4.1. В любой плоскости через точку, не лежащую на данной прямой этой плоскости, проходит только одна прямая, параллельная данной.

    В школьном учебнике геометрии И.М.Смирновой, В.А.Смирнова [6] основными геометрическими фигурами считаются точки, прямыеи плоскости. Первые аксиомы относятся к понятию принадлежности.
1. Через любые две точки проходит единственная прямая.
2. Для любой прямой существуют точки, принадлежащие этой прямой и точки, ей не принадлежащие.
    Одним из основных отношений взаимного расположения точек на прямой является отношение лежать между. Точки на прямой могут лежать между двумя данными точками на этой прямой или не лежать между ними. Если точка О лежит между точками А и В, то в этом случае говорят также, что точки А и В лежат на прямой по разные стороны от точки О. В противном случае говорят, что точки А и В лежат на прямой по одну сторону от точки О.
    В качестве аксиом взаимного расположения точек на прямой принимаются следующие свойства.
3. Из трех точек на прямой только одна лежит между двумя другими.
4. Каждая точка на прямой разбивает эту прямую на две части так, что точки из разных частей лежат по разные стороны от данной точки, а точки из одной части лежат по одну сторону от данной точки.
    Часть прямой, состоящая из двух данных точек и всех точек, лежащих между ними, называется отрезком. При этом сами данные точки называются концами отрезка.
    Часть прямой, состоящая из данной точки и всех точек, лежащих от нее по одну сторону, называется полупрямой или лучом. При этом сама данная точка называется началом или вершинойлуча.
    Одной из основных операций, которую можно производить с отрезками, является операция откладывания данного отрезка на данном луче от его вершины. Получающийся при этом отрезок называется равным исходному отрезку. Равенство отрезков АВ и А₁В₁ записывается в виде АВ=А₁В₁. Оно означает, что если один из этих отрезков, например АВ, отложить на луче А₁В₁от точки А₁, то отрезок АВ при этом совместится с отрезком А₁В_1.
    Если при откладывании отрезка АВ на луче А₁В₁ от точки А₁ точка В переходит в точку, лежащую между точками А_1, В₁, то говорят, что отрезок АВ меньше отрезка А₁В₁ и обозначают АВ < А₁В₁. Говорят также, что отрезок А₁В₁ больше отрезка АВ и обозначают А₁В₁>AB
    Если на отрезке АВ между точками А и В взять какую-либо точку С, то образуется два новых отрезка АС и СВ. Отрезок АВ называется суммой отрезков АС и СВ и обозначается

АВ = АС + СВ.     Каждый из отрезков АС и СВ называется разностью отрезка АВ и другого отрезка, обозначается АС = АВ - СВ, СВ = АВ - АС.     Чтобы сложить два произвольных отрезка АВ и CD, продолжим отрезок АВ за точку В и на этом продолжении отложим отрезок ВЕ, равный CD. Отрезок АЕ даст сумму отрезков АВ и CD, АЕ = АВ + CD.     Аналогичным образом поступают для вычитания из большего отрезка меньшего.
    Следующие свойства, относящиеся к понятию равенства отрезков, принимаются за аксиомы.
5. Каждый отрезок равен самому себе.
6. Если два отрезка равны третьему, то они равны между собой.
7. На любом луче от его начала можно отложить только один отрезок, равный данному.
8. Отрезки, полученные сложением или вычитанием соответственно равных отрезков, равны.
    Используя операцию сложения отрезка с самим собой можно определить операцию умножения отрезка на натуральное число. А именно, положим для отрезка АВ 2АВ = АВ + АВ,3АВ = 2АВ + АВ, ..., nАВ = (n-1)АВ + АВ, ... .     Определим также операцию деления отрезка на натуральное число, или, что то же самое, операцию деления отрезка на n равных частей, считая AB:n отрезком, при умножении которого на n получается исходный отрезок АВ, т.е. n(AB:n) = AB.
    В качестве аксиомы принимается следующее свойство.
9. Любой отрезок можно разделить на n равных частей, n = 2,3, ... .
    Следующее свойство принимается в качестве аксиомы взаимного расположения точек на плоскости относительно данной прямой.
10. Каждая прямая на плоскостиразбивает эту плоскость на две части, для точек которых говорят, что они лежат по разные стороны от данной прямой. При этом, если две точки, принадлежат разным частям плоскости относительно данной прямой, то отрезок, соединяющий эти точки, пересекается с прямой. Если две точки принадлежат одной части, то отрезок, соединяющий эти точки, не пересекается с прямой.
    Часть плоскости, состоящую из точек данной прямой и точек, лежащих по одну сторону от этой прямой, называется полуплоскостью.
    Два луча с общей вершиной так же разбивают плоскость на две части. Если лучи не лежат на одной прямой, то меньшая из этих частей является общей частью двух полуплоскостей, определяемых данными лучами.
    Фигура, образованная двумя лучами с общей вершиной и одной из частей плоскости, ограниченной этими лучами, называется углом. Общая вершина называется вершиной угла, а сами лучи - сторонами угла. Точки угла, не лежащие на его сторонах, называются внутренними. Лучи, исходящие из вешины данного угла и проходящие через внутренние точки угла, называются внутренними.
    Одной из основных операций, которую можно производить с углами, является операция откладывания данного угла в ту или другую сторону от данного луча. Получающийся при этом угол называется равным исходному углу. Равенство углов АОВ и А₁О₁В₁ записывается в виде

АОВ =

А₁О₁В₁. Оно означает, что если один из этих углов, например АОВ, отложить от луча О₁А₁ в сторону, определяемую лучом О₁В₁, то угол АОВ при этом совместится с углом А₁О₁В_1.
Если при откладывании угла АОВ на луче А₁О₁В₁ от луча О₁А₁ луч ОВ переходит в луч, лежащий внутри угла А₁О₁В₁, то говорят, что угол АОВ меньше угла А₁О₁В₁ и обозначают

АOВ <

А₁O₁В₁. Говорят также, что угол А₁О₁В₁ больше угла АОВ и обозначают

А₁O₁В₁ >

AOB.
Если внутри угла АОВ провести луч ОС, то образуется два новых угла АОС и СОВ. Угол АОВ называется суммой углов АОС и СОВ и обозначается

АОВ = АOС + СOВ. Каждый из углов АОС и СОВ называется разностью угла АОВ и другого угла, обозначается

АOС = АOВ - СOВ,

СOВ = АOВ - АOС. Чтобы сложить два угла, например АОВ и CО₁D, отложим угол CO₁D от луча ОВ так, чтобы точки В и D находились по разные стороны от прямой ОВ. Обозначим ОЕ луч, в который перейдет луч О₁D. Тогда угол АОЕ даст сумму углов АОВ и CО₁D,

АOЕ = АOВ + CO₁D.     Аналогичным образом поступают для вычитания из большего угла меньшего.
    Аксиомами, относящимися к понятию равенства углов являются следующие:
11. Каждый угол равен самому себе.
12. Если два угла равны третьему, то они равны между собой.
13. От любого луча на плоскостив заданную сторону можно отложить только один угол равный данному.
14. Углы, полученные сложением или вычитанием соответственно равных углов, равны.
15. Все развернутые углы равны.
    Используя операцию сложения угла с самим собой можно определить операцию умножения угла на натуральное число и деления угла на n равных частей. Для угла АОВ углом АОВ:n считается такой угол, при при умножении которого на n получается исходный угол АОВ, т.е.
n(

AОB:n) = AОB.
    В качестве аксиомы принимается следующее свойство.
16. Любой угол можно разделить на n равных частей, n = 2,3, ...
    Два треугольника назовем равными, если стороны одного соответственно равны сторонам другого и углы, заключенные между соответственно равными сторонами, равны.
    В качестве аксиомы принимается следующее свойство.
17. Каковы бы ни были треугольник и луч на плоскости, существует треугольник, равный данному, у которого первая вершина совпадает с вершиной луча, вторая – лежит на луче, а третья расположена в заданной полуплоскости относительно луча.
    Аксиома параллельных формулируется в виде:
18. Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной.
    Завершает аксиомы планиметрии один из вариантов аксиомы непрерывности.
19. Соответствие, при котором точкам координатной прямой сопоставляются их координаты, является взаимно однозначным соответствием между точками координатной прямой и действительными числами.
    Отметим, что приведенная система аксиом является избыточной в том смысле, что некоторые последующие аксиомы перекрывают предыдущие. Например, из аксиомы об откладывании треугольника равного данному и признаков равенства треугольников следует, что все развернутые углы равны. Тем не менее авторы предпочли сформулировать аксиому о равенстве развернутых углов отдельно, поскольку она используется в самой первой теореме о равенстве вертикальных углов. Кроме этого, на ее основе строится процесс измерения величин углов.
    То, что отрезок можно разделить на n равных частей является следствием аксиомы непрерывности или аксиомы параллельности. Авторы предпочли принять это свойство в качестве самостоятельной аксиомы, поскольку оно существенным образом используется при измерении длин отрезков, различных доказательствах и построениях.

Литература.
1. Энциклопедия элементарной математики, т. 4 Геометрия. М. 1963.
2. А.Д.Александров. Основания геометрии. М.: Наука, 1987.
3. А.В.Погорелов. Геометрия. М.: Наука, 1983.
4. Д.И.Перепелкин. Курс элементарной геометрии, ч II. М.: 1949.
5. Л.С.Атанасян и др. Геометрия 10-11. Учебник для 10-11 классов средней школы. М.: Просвещение, 1992.
6. И.М.Смирнова, В.А.Смирнов. Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2001.