ИЗМЕРЕНИЕ ДВУГРАННЫХ И МНОГОГРАННЫХ УГЛОВ

         Двугранные и многогранные углы входят в новые стандарты по математике как базового, так и профильного уровня обучения в старших классов. Однако задачам на вычисление этих углов обычно не уделяется должного внимание. В то же время решение таких задач способствует выработке необходимых вычислительных навыков, повторяет различные планиметрические формулы и соотношения, развивает пространственные представления учащихся.

Здесь мы рассмотрим вопрос об измерении двугранных и многогранных углов. Предлагаемый материал и задачи могут быть использованы на профильном уровне при изучении темы «Правильные многогранники», при проведении элективных курсов, подготовке учащихся к решению олимпиадных задач и задач вступительных экзаменов по математике в вузы.

Начнем с двугранных углов. Двугранный угол является пространственным аналогом угла на плоскости. Напомним, что углом на плоскости называется фигура, образованная двумя лучами этой плоскости с общей вершиной и частью плоскости, ограниченной этими лучами. Будем считать аналогом точки на плоскости прямую в пространстве и аналогом луча на плоскости полуплоскость в пространстве. Тогда, по этой аналогии, двугранным углом в пространстве называют фигуру (рис. 1), образованную двумя полуплоскостями, с общей ограничивающей их прямой, и частью пространства, ограниченной этими полуплоскостями. Полуплоскости называются гранями двугранного угла, а их общая граничная прямая – ребром двугранного угла.

Линейным углом двугранного угла называется угол, полученный в результате пересечения данного двугранного угла и какой-нибудь плоскости, перпендикулярной его ребру (рис. 2).

         Величиной двугранного угла называется величина его линейного уг­ла.

         В школьном курсе геометрии доказывается, что величина линейного угла не зависит от выбора плоскости, перпендикулярной его ребру.

         Найдем двугранные углы правильных многогранников.

         Ясно, что двугранные углы jкуб куба (рис. 3) равны 90°. Рассмотрим правильный тетраэдр ABCD с ребром 1 (рис. 4). Из вершин A и  D опустим перпендикуляры AE и DE на ребро BC. Для нахождения двугранного угла jтет = ÐAED воспользуемся теоремой косинусов, примененной к треугольнику ADE, в котором AD = 1, AE = DE = . Имеем равенство 1 = +- 2cosjтет. Откуда cosjтет = , jтет »70°30'.

         Вычислим косинус двугранного угла октаэдра с ребром 1. Для этого из вершин E и F (рис. 5) опустим перпендикуляры EG и FG на ребро BC. EG = FG =. Четырехугольник AECF – квадрат со стороной 1 и, следовательно, EF = . По теореме косинусов имеем 2 =  +  - 2cosjокт. Откуда cos jокт = - ,  jокт »109°30'.

         Заметим, что двугранные углы тетраэдра и октаэдра в сумме составляют 180°. Этот факт можно вывести и не вычисляя двугранных углов, а используя то, что середины ребер правильного тетраэдра являются вершинами октаэдра (рис. 6).

         Вычислим косинус двугранного угла икосаэдра с ребром 1. Для этого из A и C опустим перпендикуляры AG и CG на ребро BF (рис. 7). AG = CG =. AC является диагональю правильного пятиугольника ABCDE с ребром 1 и, следовательно, AC = . По теореме косинусов, имеем =  +  - 2cosjико. Откуда cosjико = -, jико »138°11'.

         Вычислим косинус двугранного угла додекаэдра с ребром 1. Для этого из вершин A и C опустим перпендикуляры AG  и CG на ребро BF (рис. 8). AG = CG =  AC является диагональю правильного пятиугольника ABCDE с ребром . Поэтому, AC = =. По теореме косинусов, имеем =+-2cosjдод. Откуда cosjдод = -, jдод »116°34'.

         Из приведенных вычислений, в частности следует, что из равных правильных многогранников, отличных от куба, нельзя составить пространственный паркет (заполнить все пространство). Действительно, если бы, такое заполнение пространства существовало, то сумма двугранных углов правильных многогранников с общим ребром должна была быть равна 360°. Следовательно, величина двугранного угла правильного многогранника могла бы быть получена делением 360° на натуральное число. Непосредственно видно, что из правильных многогранников этим свойством обладает только куб.

         Пространственный паркет можно составить используя тетраэдр и октаэдр. Для этого сначала нужно к двум противоположным граням октаэдра приставить тетраэдры (рис. 9). В результате получим параллелепипед, гранями которого являются ромбы. А уже затем из этих параллелепипедов составить пространственный паркет.

         Перейдем теперь к многогранным углам. Многогранный угол является пространственным аналогом многоугольника. Напомним, что многоугольником на плоскости называется фигура, образованная простой замкнутой ломаной и ограниченной ею внутренней областью. Будем считать аналогом точки на плоскости луч в пространстве и аналогом отрезка на плоскости плоский угол в пространстве. Тогда аналогом простой замкнутой ломаной на плоскости является поверхность, образованная конечным набором плоских углов A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 с общей вершиной S (рис. 10), в которых соседние углы не имеют общий точек, кроме точек общего луча, а несоседние углы не имеют общих точек, кроме общей вершины. Фигура, образованная указанной поверхностью и одной из двух частей пространства, ею ограниченных, называется многогранным углом. Общая вершина S называется вершиной многогранного угла. Лучи SA1, …, SAn называются ребрами многогранного угла, а сами плоские углы A1SA2, A2SA3, …, An-1SAn, AnSA1 – гранями многогранного угла. Многогранный угол обозначается буквами SA1An, указывающими вершину и точки на его ребрах. В зависимости от числа граней многогранные углы бывают трехгранными, четырехгранными, пятигранными (рис. 11) и т. д.

Рассмотрим вопрос об измерении многогранных углов. Поскольку градусная величина развернутого двугранного угла измеряется градусной величиной соответствующего линейного угла и равна 180°, то будем считать, что градусная величина всего пространства, которое состоит из двух развернутых двугранных углов, равна 360°. Величина многогранного угла, выраженная в градусах, показывает какую часть пространства занимает данный многогранный угол. Например, трехгранный угол куба занимает одну восьмую часть пространства и, значит, его градусная величина равна 360°= 45°. Трехгранный угол в правильной n-угольной призме равен половине двугранного угла при боковом ребре. Учитывая, что этот двугранный угол равен  , получаем, что трехгранный угол призмы равен 

В школьном курсе геометрии доказывается, что для выпуклого n-угольника имеет место следующая формула для суммы его углов

Здесь мы получим пространственный аналог этой формулы для выпуклых многогранных углов.

Начнем с трехгранного угла. Опишем около его вершины S единичную сферу и обозначим точки пересечения ребер трехгранного угла с этой сферой  A, B, C (рис. 12).

Плоскости граней трехгранного угла разбивают эту сферу на шесть попарно равных сферических двуугольников, соответствующих двугранным углам данного трехгранного угла. Сферический треугольник ABC и симметричный ему сферический треугольник A'B'C' являются пересечением трех двуугольников. Поэтому удвоенная сумма двугранных углов равна 360°  плюс учетверенная величина трехгранного угла, или

(1)    ÐSAB +ÐSB + ÐSC = 180° + 2ÐSABC.

Пусть теперь SA1…An – выпуклый n-гранный угол (рис. 13). Разбивая его на трехгранные углы, проведением диагоналей A1A3, …, A1An-1 и применяя к ним полученную формулу, будем иметь

(2)    ÐSA1 + … +ÐSAn= 180° (n – 2) + 2ÐSA1An,

Используя эти формулы, вычислим многогранные углы yкуб, yтет, yокт, yико, yдод, правильных многогранников. Имеем

yкуб = 45°; yтет = jтет - 90°»15°45'; yокт = 2jокт - 180° » 38°56';

yико = jико - 270°»75°28'; yдод = jдод - 90°»84°51'.

         Найдем двугранные и многогранные углы ромбододекаэдра – многогранника, гранями которого являются двенадцать ромбов (рис. 14).

         Воспользуемся тем, что ромбододекаэдр может быть получен из двух равных кубов. А именно, разобьем один из двух кубов на правильные четырехугольные пирамиды, основаниями которых служат грани куба, а вершинами – центр куба. Поставим эти пирамиды основаниями на грани другого куба (рис. 15). Получим ромбододекаэдр.

         Из этого построения, в частности следует, что равными ромбододекаэдрами можно заполнить все пространство (составить пространственный паркет). Для этого сначала заполним пространство равными кубами, закрашенными в черный и белый цвета в шахматном порядке. Затем белые кубы разобьем на правильные четырехугольные пирамиды и присоединим их к черным кубам. Получим искомое заполнение пространства ромбододекаэдрами. При этом в каждой вершине сходится или шесть равных четырехгранных углов, или четыре равных трехгранных углов ромбододекаэдров.

         Таким образом, величина четырехгранного угла ромбододекаэдра равна 60°, а величина трехгранного угла ромбододекаэдра равна 90°.

         Двугранные углы ромбододекаэдра находятся из приведенной выше формулы (3) и равны 120°.

Используя теорему Эйлера о числе вершин ребер и граней выпуклого многогранника (В–Р+Г=2), выведем формулу, связывающую суммы двугранных и многогранных углов выпуклого многогранника.

Пусть  n1, ..., nв - количества ребер, сходящихся в вершинах данного многогранника. Тогда, суммируя соответствующие равенства по всем вершинам многогранника, и учитывая, что при этом каждый двугранный угол считается дважды, получим равенство

2S2 = 180°(n1 – 2) + ... + 180°(nв – 2) + 2S,

где S2S - суммы двугранных и многогранных углов данного многогранника.

Заметим, что n1 + ... + nв = 2Р. Следовательно, будем иметь равенство

S2 = 180°(Р – В) + S,

или, окончательно, используя соотношение Эйлера, В – Р + Г = 2, получаем

S2 = 180°(Г – 2) + S.

Многогранные углы можно измерять и числами. Действительно, тремстам шестидесяти градусам всего пространства соответствует число 2p, равное половине площади единичной сферы. Поэтому численной величиной многогранного угла считают половину площади сферического многоугольника, высекаемого многогранным углом из единичной сферы с центром в вершине данного многогранного угла.

Например, численная величина трехгранного угла куба будет равна .

         Переходя от градусов к числам  в формулах 1 и 2, связывающих двугранные углы трехгранного и многогранного углов, будем иметь

(3)       ÐSAB +ÐSB + ÐSC = p + 2ÐSABC.

(4)         ÐSA1 + … +ÐSAn=p(n – 2) + 2ÐSA1An.

Заменяя в этих формулах величины трехгранного и многогранного углов на площади сферических треугольника и многоугольника, соответственно, получим формулы для площадей сферического треугольника ABC и многоугольника A1An.

(5)       S(ABC) = ÐSA +ÐSB + ÐSC  p.

(6)        S(A1An) = ÐSA1 + +ÐSAn p(n – 2).

 

Задачи для самостоятельного решения

1. Чему равен трехгранный угол, образованный диагоналями граней куба, выходящими из одной вершины?

2. В правильном тетраэдре ABCD точка O – центр описанной сферы. Найдите трехгранный угол OABC и двугранные углы OA, OB, OC.

3. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 1, сторона основания . Найдите трехгранный угол при вершине и двугранные углы при боковых ребрах этой пирамиды.

4. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 1, высота . Найдите трехгранный угол при вершине и двугранные углы при боковых ребрах этой пирамиды.

5. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания и боковое ребро равно 1. Чему равны двугранные и трехгранные углы при основании?

6. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 2 см, высота 1 см. Чему равен многогранный угол при вершине этой пирамиды?

7. В правильной пятиугольной пирамиде сторона основания и боковое ребро равны 1. Чему равен пятигранный угол при вершине этой пирамиды?

8. Найдите двугранные и многогранные углы: а) правильной пятиугольной призмы (рис. 16, а); б) правильной треугольной антипризмы (рис. 16, б).

9. Найдите двугранные и многогранные углы: а) усеченного тетраэдра (рис. 17, а); б) усеченного куба (рис. 17, б); в) усеченного октаэдра (рис. 17, в); г) усеченного икосаэдра (рис. 17, г); д) усеченного додекаэдра (рис. 17, д).

10. Докажите, что из равных усеченных октаэдров можно составить пространственный паркет.

11. Найдите двугранные и многогранные углы: а) кубооктаэдра (рис. 18, а); б) икосододекаэдра (рис. 18, б).

12. Найдите величины невыпуклых многогранных углов многогранников, изображенных на рисунке 19, а-в.

13. Найдите двугранные и многогранные углы малого звездчатого додекаэдра (рис. 20), получающегося из додекаэдра продолжением его ребер.

14. Верна ли формула (2) для невыпуклых многогранных углов? Почему?

15. Найдите площадь части сферы с центром в вершине единичного куба и радиусом 1, заключенной внутри этого куба.

16. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 2 см, высота 1 см. Найдите площадь части сферы с центром в вершине пирамиды и радиусом 1 см, заключенной внутри пирамиды.

17. Чему равна площадь сферического треугольника на единичной сфере, все углы которого равны: а) 80°; б) 90°; в) 100°?

18. Выведите формулу площади сферического n-угольника на сфере радиуса R, все углы которого равны j. В каких пределах может изменяться j?

Hosted by uCoz